第2讲 用样本估计总体
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 C．方差
B．平均数 D．极差
解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
2．(2020·陕西商洛质检)在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩性为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )
A．95 C．97
B．96 D．98
解析：选C.由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88，94，99，88＋94＋99＋107
107，故平均数为＝97，故选C.
4
3．(2020·广东珠海摸底)某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖20元，二等奖10元，三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )
A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高 C．购买奖品的平均费用为9.25元 D．购买奖品的费用的中位数为2元
解析：选C.设全班人数为a.由扇形统计图可知．一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖
占30%，参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为5%a×20＝
a.二等奖的总费用为10%a×10＝a，三等奖的总费用为30%a×5＝a，参与奖的总费用为55?1
×2＝a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为5%×
1020＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C错误；参与奖占55%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D正确．故选C.
4．(2020·安徽六安毛坦厂中学月考)某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )
32
A．100 000元 C．90 000元
B．95 000元 D．85 000元
解析：选D.由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为000(元)．故选D.
5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x甲
12 750
＝85 15%
，x乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )
A．x甲
B．x甲
解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知x甲>x乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．
6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎
叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．
解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得
70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）
＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中
7位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
答案：6
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．
解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.
答案：200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第5＋15＋252个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝＝60.
0.75
答案：60
9．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准
x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居
民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.30.
(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，
所以2.5≤x＜3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；
(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
83＋8584＋82
解：(1)A的中位数是＝84，B的中位数是＝83.
22(2)派B参加比较合适．理由如下：
xB＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85， xA＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
222222
s2B＝[(78－85)＋(79－85)＋(81－85)＋(82－85)＋(84－85)＋(88－85)＋(93－
1
818
18
85)＋(95－85)]＝35.5，
222222
s2A＝[(75－85)＋(80－85)＋(80－85)＋(83－85)＋(85－85)＋(90－85)＋(92－
22
1
8
85)＋(95－85)]＝41，
因为xA＝xB，但sB (3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)， 2 2 22 A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－＝. [综合题组练] 1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是( ) 310710 A．A县 B．B县 C．A县、B县两个地区相等 D．无法确定 解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小． 2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据
2021版高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体练习理北师大版
