(m>0)∴B(m,4-m),y=-(x-m)2+4-m,∴C(0,-m2-m+4)，已知∠OPB=45°，又∠OBC=45°，∴△OCB与△OBP相似；如图1，当点C在y轴正半轴上时，即-m2-m+4>0时，BO2=OC·OP,∵BO2=2m2-8m+16，OC=-m2-m+4，OP=4，解得m1=0,m2=3(2);
②如图2，当点C在y轴正半轴上时，即-m2-m+4时，BO2=OC·OP,∵BC2=m2+m4，OC=m2+m-4,CP= m2+m，解得m3=0,m4,5=1±(负根舍去)，∴m=1+,综上所述，m= m2+m或m=1+
9. 如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线经过点B及抛物线的顶点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为对称轴右侧抛物线上的一点，PQ垂直于对称轴于点Q，以PQ为边作正方形PQDE，若点E恰好落在直线BM上，求P点的坐标；
（3）如图2，将△OBC沿轴正方向平移个单位长度得到△，与抛物线交于点N，连接，试问：是否存在这样的实数，使得△∽△ABC？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.
[解答]
⑴由题意得：M(1,b) B(3,0) ∵M在直线y=-2x+6, ∴b=4,∴M(1,4).
将B(3,0)代入抛物线y=a+4中,得a=-1.
∴抛物线的解析式为y= -+4=- +2x+3.且A(-1,0) C(0,3)
⑵设P(m, -m+2m+3),则Q(1, -m+2m+3).
∵四边形PQDE为正方形.∴QD=DE=PE=PQ=m-1
∴D(1, -m+m+4),E(m, -m+m+4) ∵BM的解析式为y=-2x+6.且E在BM上,
∴-m+2m+4=-2m+6 解得m=1或m=2,
∵P在对称轴x=1右侧,∴x＞1,∴只取m=2，∴P(2,3)
⑶由题意得：OA=1,OC==OB==3, =m,过N作NF⊥x轴于点F.
∵△N∽ΔABC. ∴∠N =∠A ∠ABC=∠N=45°∵OC=3OA=OB
∴NF=3F=F, ∴F==,NF=3×=
∵ N在抛物线y= -+2x+3上.∴令y=,得-+2x+3=,解得:x=
∵将△OBC向右平移, ∴x=＜0,不合题意,舍去. ∴x=
∴N(,).∴m=-=.
10. 抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若第一象限抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
[解答]
（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）①如右图．
∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，3）．
∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣
∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．
3）， ﹣ ∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．
由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；[
②若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=a，∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；点M坐标为（5，12）．
中考数学二轮复习专题训练：二次函数与几何
