第一章行列式
二元线性 方程组：
排列的逆 序数：
n阶行列
式：
定理1： 定理2：
行列式的 性质：
见
1
0
'anx+< ai2 y =bi D = 11 12 ,Di = bi 12 ,D2 = 11 bi Di
D2
+ = a a a a?i x a?2 v b? 21 a 22 b? 22 21 b? t =X ti （ ti为排列Pl P2…Pn中大于Pi且排于Pi前的元素个数）
t为奇数奇排列，t为偶数偶排 列，t t=i
=0标准排列。
a
a ■— 12
a D =det(ajj)=
a ii a … In
21 22 a ■■ ■—l)flp 2p a … a
2n =3 ｛为列标排列的逆序数.
■ ? ■
1 2
a
nl
a
■ ■ ■ ■
a
n 2
nn 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数
》_ …a n阶行列式可定义为 D 匚（l）lapna p2 2 ap nn = (l)1 ai pl a2p 2 吶? 1. D=DT, DT为D转置行列式.（沿副对角线翻转 ,行列式同样不变 ） 2.互换行列式的两行（列），行列式变号. 记作：口㈠巧（5㈠推论：两行（列）完全相同的行列式等于零. 记作：ri =r j （ Ci=c Cj ） = D T -D . j ） D=_ D=0 . 3.行列式乘以k等于某行（列）所有元素都乘以k. 记作：kD = 推论：某一行（列）所有元素公因子可提到行列式的外面. ri x k （ kD =Ci k ）. 记作：kD = 口 十 k （ kD 二 Ci v k ）. 4.两行（列）元素成比例的行列式为零?记作：
r j = n x k （ cj =ci xk）=> D = 0 .
a
a ... + ，?a
a ...
a?a
a .?. In
a
a
a
11 a
12 21 a a
12 ...
?? 21
22 ...
(aii a
11 a 12
… li a?■? ?(a2i
?an) .a
li in
ft
22
2n 22 ?…
2i … ?■?
a ...
li
21 a 2i ft .. * a
5. D =
?
?
? ?+ a5i)…ft a2n
D =
??
■■
? ■■■
■
■
■
a
a …
，a
a …
a■… + a
a
a … a\… a
nl
n2
+a')a(Hni
ni
??nn
nl n2
ni
nn
nl n2
ni
上式为列变换， 行变换同样成立.
6.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变. 记作：ci T ci+kcj (1严 口 +krj), D 不变. 注：任何n阶行列式总能利用行运算
门+kn化为上（下）三角行列式.
对角行列式
(TDT)
三角形行列式
0
0
X 1
a
A
n( n-t)
a
ii 0
a
?
?
=九九…X
几2
■ =
一
XX …X
= 21 22 ?■
■
■?■ ■ ■
? ■ a a.
~a a a
1 2 n
(1)
2
1 2n
D
11 22
nn
?? ?
/l n
九
n
0
a n i a n 2
an
1
若对
an
?
■
D =
c kl
???
ai k
??
a …
Di
设
… b
lk t ■
…b
kk
a
lk ■ ■
■ ■
a
kk
…
二detQij)二
ii ■ ■ kl a ?…
■ ■ ■
)11 ■ ■
c b
lk 11 ■ ■ ? ? ■ ■
a kk ■ bln ??
u
若2n阶行列式 2n
ab
11
■ ■
D2 = det(bij) =
??
? ? ?
bnn c … kl c b kk kl
?nl
￡_
2n
则有 D=D1D2.
有 D ?n=(ad-bc)n.
伴随矩阵: 余了式: 逆矩阵： 引理:
An 1 j列去掉后，余下A62AA* AiA为行列式*A AE A中对应元素的 n阶行列式中把 列所在的第i行和第n?l阶行列式.
A}2 A?2
r
代数余子式:
Aij =(」? +Mij
AB BA E，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A A的逆阵是唯一的. 代数余了比. ----------------- =a A
n阶行列式D中，若第i行所有元素除列外都为零，则有 D 0 9? 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘机之和.
定理3： （代数余子 式性质）
推论：行列式某一行~~（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘机之和等于零.
迥a A = D §
=ki kj
ij
D, I i J, y _ 5
H
iK= jk
ij
:5-7
--------------------
D, i =j,
6
当H 其中ij
0^4
-----------
Xl
X2
X3 9
X3[
Xn
范德蒙德
行列式:
DnXl
2
X2? X2n 1 Xn?
n
n i j 1
>> > (Xi
Xj）?证明用数学归纳法.
+ +…+ a x = dA
a x a x lnn bl a x a x
?■2F ??1?? ? ? ,2 ? *2??…
一
a
ll
设方程组
克拉默法
贝山
.a x+a x 十
nl 1 n2 2
\
a x
nn n bn
a nn
0 ,则方程组有惟一解:
— +
XI
= B-
,Xn \，其中 Dj
an
■
ai，3 i bj aij i
a In
■
(j 12 “)?
D
定理
若上线性方程组的系数行列式
D
丰
则方聲组一定有惟?解；若无解或有两个不同解，贝ij
4：
D ￡ ?
~~D—0T
定理5： 若齐次线性方程组（bn= 0）的系数行列式D 0 ,则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则
----------- 第二章矩阵及其运算
对角矩阵（对角严）：
入
?…
>
纯量阵:
n阶单位矩阵,，（单位阵j； I ? a E 0… ：1 0 ■ 0 0 ??? A
2
I EA AE 二0 ■ 丿 0 1 A =
矩阵与矩 阵相乘：
另可记作 A diag( 1
X
2
=
, n ) .
X
( E) A A, A( E) (E)A
=
A, A( E) A .
=
若A (ay )是一个m s矩阵，B (by )是一个s n矩阵，且C AB,则C (cy)是一个m n矩阵,
= +
+ …+
sj g 1,2, ,*;j
方卩[行 讐普 算规律:
X
------- a b—a b -------- a
lj i2 2j 且Cij .n■险方成的行列式，记 lx I —
(A Bf] A 丁 BT , (AB)T
A 或 det A . ----------------- A A； 称 A与 B 是可交换的. ，n) ?若2. AB BA，
BTAT A 人丁 , A为对称阵
3. AB AB, AA?
n
矩阵转置:
# A (ay ) , Pl'j A(aJJ
AH A21
T
I hl III III
考研数学《线性代数》考点知识点总结
