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(A)234 (B) (C) 343(D)5.广义积分 (A)
1
???0xdx为（ D ）.
(1?x)3?1 (B) 0 (C)?11 (D) 22三、 计算题：（计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题共
10个小题，每小题6分，共60分）.
2.
?计算极限 limx?0x0x0tantdtx2.
?解： limx?0tantdtx2＝limtanx （5分）
x?02x ＝
1 （6分） 22．计算函数 y?x21?x的导数 y?. 1?x解1： 两边取对数，得 lny?2lnx? 两边求导数
11ln(1?x)?ln(1?x) （1分） 22y?211??? （4分） yx2(1?x)2(1?x)1??2? 2??x1?x? y??y? ＝x21?x?21? （6分） ??2?1?x?x1?x? _
解2： 由于y?elnx21?x1?x?e12lnx?[ln(1?x)?ln(1?x)]2，所以
y??e12lnx?[ln(1?x)?ln(1?x)]21???21?1???x2?1?x1?x?? （4分）
???? ＝x21?x?21? （6分） ??2?1?x?x1?x?y3 计算由隐函数 e?xlny确定的函数 y?f(x)的微分dy. 解： 方程两边关于x求导数，把 y看成x的函数. y?e?lny?yxy? （3分） y解得 y??ylny （4分）
yey?xylnydx （6分）
yey?x所以函数y?f(x)的微分 dy??5. 判别正项级数
?n?1nln(1?1)的敛散性. n2解1： 由于ln(1??1n111a?nln(1?)??，所以 )?n3 （3分）2222nnnnn2已知级数
?n?11n32(p??3?1)收敛 （5分） 2由比较判别法知级数
?n?1nln(1?1)收敛. （6分） n211)ln(1?)n2?limn2＝1 （4
n??1132nn2解2： 取bn?1n32，liman?limn??bn??nnln(1?分） 因为级数
?n?1?1n32收敛 （5分）
_
所以原级数
?n?1?nln(1?1)收敛。 （6分） 2n5. 计算不定积分
?dx x(1?x)解1：
?dxd(x)＝2? （4分） 2x(1?x)1?(x)x?C （6分）
＝2arctan解2： 设 t?
x，则x?t2，dx?2tdt，于是
?dx2tdt＝? （4分） 2t(1?t)x(1?x) =2dt?1?t2
=2arctant?C （5分） =2arctan6. 求幂级数
?nx?C （6分）
2n?3xn?0的收敛半径与收敛区间.
un?13n?1x2(n?1)?lim?3x2 （2分 ） 解： 当 x?0时，limn2nn??un??3xn1 所以当 3x?1，即|x|? 时，幂级数
32?3xnn?0?2n收敛；当 3x?1，
21即|x|?时，幂级数
3分）
n2n所以幂级数的收敛半径R?3?x发散，n?0?1 （331由于 x??时，级数
3?3xnn?0?2n成为
n?0?1 发散。 （5分）
?因此幂级数收敛区间为 (?11. 计算定积分
11,) （6分） 33??0xsin2xdx
_
解： 由于公式 sinx?
?21(1?cos2x)，所以 21?x(1?cos2x)dx （2分） ??0021?1?1? ＝?(x?xcos2x)dx??xdx??xcos2xdx
202020xsin2xdx＝
x2?1? ＝?xdsin2x （ 3分）
404?0 ＝
?24?xsin2x?1???sin2xdx （5分） 0404?1 ＝?cos2x
048?2 ＝
?24 （6分）
dyx(1?y2)?12. 计算微分方程 满足初始条件 y(0)?1的特解. dxy(1?x2)解： 分离变量得
ydyxdx? （2分） 221?y1?x 两边积分
ydyxdx??1?y2?1?x2
1d(1?y2)1d(1?x2)??于是有? 221?y21?x2 即
111ln(1?y2)?ln(1?x2)?C （4分） 22222 或 ln(1?y)?ln(1?x)?C
将初始条件y(0)?1代入得 C?ln2 （5分） 所求特解是 y?2x?1 （6分） 13. 计算函数 y?sin(lnx)的二阶导数 y??.
22cos(lnx) （3分） x?sin(lnx)?cos(lnx)sin(lnx)?cos(lnx) y??? （6分） ??22xx解： y?? _
14. 将函数 y?lnx展成(x?1)的幂级数并指出收敛区间. 解： 因为 y?lnx?ln[1?(x?1)] （1分）
x2x3?? 根据幂级数展开式 ln(1?x)?x?23?(?1)n?1xn?n，
?1?x?1 （2分）
于是
(x?1)2(x?1)3lnx?(x?1)???23?(?1)n?1(x?1)n?n （5分）
收敛区间是 x?(0,2] （6分）
四、综合题（本题4个小题，共30分） 1. [本题7分] 设0?a?b，证明不等式 a证明： 设f(x)?x,nn?1bn?an??bn?1n(b?a)(n?2,3,)
n?2， （ 2分 ）
则 f(x)在闭区间[a,b]上满足 Lagrange定理条件， 于是存在一点??(a,b)，使
f(b)?f(a)?f?(?) （3分）
b?abn?an?n?n?1 （4分） 即
b?a因为n?2且a???b，所以 a因此 nan?1n?1??n?1?bn?1， （5分）
bn?anbn?ann?1n?1?bn?1. （7分） ??nb,从而a?n(b?a)b?a2．[本题7分]设函数f(x)?x2?值与最小值. 解： 由于定积分
?20f(x)dx，求f(x)在区间[0,2]上的最大
?20f(x)dx是一确定的实数，设?f(x)dx?k （1分）
02对f(x)的等式两边积分有
2006年浙江地区普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试题及答案解析
