专题 15
破解定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重 点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体 几何、解析几何等.
类型一 利用微积分基本定理求定积分
万能模板 使用场景 解题模板 内 一般函数类型 第一步 计算出被积函数的原函数； 第二步 求出定积分. 容
【例 1】
A．
???0
sin xdx 的值为（
C．1
）
??2
B．?
D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：第一步，计算出被积函数的原函数： 被积函数的原函数为cos x ； 第二步，求出定积分：
所以 sin xdx ? ?cos x ? 2 ．
0
??
?
??0
考点：微积分基本定理．
【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有
利于计算.
【变式演练 1】下列计算错误的是
（ ）
A. ?
π
?π
sin xdx ? 0
π
2 B. ?
1
0
2xdx ? 3
C.
? π 2 ??π 2
cos xdx ? 2
??0
cos xdx
D. ?
π
?π
sin 2xdx ? 0
【答案】D
【解析】
? ?
?1
0试题分析：A 选项，
???sin xdx ? ?? cos x ????? 0 ，所以 A 正确；B 选项， ??
? 2 3 ? 1 2
xdx ? ??x 2 ? ??，所以
??3 ? 0 3
B 正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。考点：定积分的计算。
t
cos 2t ? ? ? cos xdx ， 【变式演练 2】【安徽省滁州市定远县民族中学 2020 届高三下学期 5 月模拟检测】若
0
其中t ??0,?? ，则t ? （ ）
??A. 6
B. ??3 C. ?
2
5??D． 6
【答案】C
【解析】
t
t
分析：首先求出定积分 cos xdx ，代入cos 2t ? ?cos xdx ，利用二倍角公式得到关于sin t 的方程，求出sin t ，
0
0
? ?
结合t 的范围可得结果.
t
t
| ? sin t ， 详解：?cos xdx ? sin x 00
??
t
又cos 2t ? ?cos xdx ，
0
?
?cos 2t ? ?sin t ，
即1 ? 2 sin 2 t ? ? sin t ，
解得sin t ? 1或sin t ? ? ，
1
2
?t ??0,??,?t ? ，故选 C.
2
?xOy 中， 【变式演练 3】【云南省昆明市官渡区第一中学 2020 届高三上学期开学考试】如图，在直角坐标系 x, y 轴的垂线，垂足分别为 A, B ，向矩形过坐标原点O 作曲线 y ? ex 的切线，切点为 P ，过点 P 分别作
OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（
）
学习界的007
A．
e ? 2 2e
B． e ?1 2e
C． e ? 2 e
D． e ?1 e
【答案】A
【解析】
【分析】
专题15 破解定积分求值问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】
