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第三部分 数列 1． 等差数列：
2b2?2c2?a2 mb?22a2?2c2?b2 mc?22a2?2b2?c2
2（1）等差数列的递推公式：an?1?an?d。 （2）等差数列的通项公式：an?a1??n?1?d。
（3）若a，b，c成等差数列，则b为a与c的等差中项，则2b?a?c。 2． 等差数列的前n项和：
等差数列前n项和的公式：Sn?3． 等差数列的推论：
（1）an?an?1?d（可用此证明等差数列）。
（2）2an?an?1?an?1。
（3）a1?an?a2?an?1?a3?an?2???2a中（结论2的推广）。 （4）若?an?，?bn?为等差数列，那么?pan?qbn?也为等差数列。 （5）am?an?(m?n)d（通项公式的推广）。 （6）求公差的公式：d?an?an?1，d?n?a1?an?n?n?1?，Sn?na1?d。
22am?an。
m?n（7）若m?n?p?q，那么am?an?ap?aq。
（8）等差数列的通项公式也可表示为an?pn?q，它是一个一次函数，已知任意两项，就可用待定系数法求
通项公式。其中，a1?p?q，d?p。 （9）（根据结论3进行推导）
（10）等差数列前n项和的公式为Sn?na1?n?n?1?d，也可表示为Sn?An2?Bn，它是一个二次函数，
222其中，a1?A?B，d?2A。反之，若Sn?An?Bn，则?an?为等差数列。若Sn?An?Bn?C，
则?an?从第2项起为等差数列。
（11）已知Sn，求an的方法：a1?S1，an?Sn?Sn?1?n?2? （12）若?an?为等差数列，则??Sn??也为等差数列。 ?n?（13）若?an?，?bn?为等差数列，其前n项和分别为An，Bn，那么（14）Sm，S2m?Sm，S3m?S2m，??m?Z?也为等差数列。 （15）若项数为2nn?NanA2n?1? bnB2n?1?*?，则S*2n??2n?1?an，S偶?S奇?nd，且
S奇S偶?S奇S偶an。 an?1?n，其中，S奇?nan，n?1（16）若项数为2n?1?n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，
S偶??n?1?an。
4． 等比数列：
（1）等比数列的递推公式：an?1?qan
n?1（2）等比数列的通项公式：an?a1q
（3）若a，b，c成等比数列，则b为a与c的等比中项，则b?ac 5． 等比数列的前n项和：
2a?anqa11?qn等比数列前n项和的公式：Sn?，Sn?1
1?q1?q6． 等比数列的推论：
（1）
??an?d（可用此来证明等比数列） an?12（2）an?an?1?an?1
（3）a1?an?a2?an?1?a3?an?2???a中（结论2的推广）。 （4）若?an?，?bn?为等比数列，那么?an?bn?也为等比数列。
m?n（5）am?anq（通项公式的推广）。
2（6）求公比的公式：q?ana，q?m?nm。 an?1an（7）若m?n?p?q，那么am?an?ap?aq。
（8）等比数列前n项和的公式经过变形，可写为Sn?Aqn?A的形式，其中A?和满足Sn?Aqn?A，则该数列为等比数列。
（9）若在a，b之间插入n个数，使之成为等比数列，则这个等比数列的公比q?a1。反之，若数列前n项q?1n?1b。 a（10）Sm，S2m?Sm，S3m?S2m，??m?Z?也为等比数列。 （11）若项数为2nn?N?*?，则S偶S奇?q
（12）设等比数列前n项积为Tn，若项数为2nn?N?*T?，则
偶T奇*若项数为2n?1?n?N?，则?qn，
T奇T偶 ?qn。
7． 数列技巧方法归纳：
（1）叠加法，累乘法。
一般方法：将数列的递推公式或者数列前n项和的递推公式从1－n全部列出，将所列出所有的式子全部
相加（或相乘）得到数列的通项公式或者数列前n项和的公式。 （2）倒序相加法
一般方法：将数列的前n项和的排列成顺序和倒序两种形式，两式相加，经过适当变形，得到前n项和的公式。 （3）错位相减法
一般方法：前n项和两边乘以（或除以）一定倍数有递增（或递减）趋势的量，作为一式，来减去原式，
经过适当变形，得到前n项和的公式。 （4）裂项相消法。
分式裂项公式：
11?11?11?11???????? ?
n?n?a?a?nn?a?n?n?a?a?n?an?（n和a既可以为常数，也可以为字母或代数式）
一般方法：将数列的前n项和有分式的项进行裂项，提取公因式，全部相加可消去其中大多项，经过适当变形，得到前n项和的公式。 （5）构造数列法。
一般方法：如果题目中已给出特定的形式，则直接换元，变为等差数列或者等比数列，求出所求通项公
式以后，再换回来得解。若题目中无特定的形式，则采用两边同时相加（减）或者两边同时相乘（除）的方法，换元变为等差数列或者等比数列，求解。 （6）由递推公式求通项公式：an?1?pan?qp,q为常数型：递推公式两边加一个常数k，使之满足两边
项的系数比相等，两边相除，构造等比数列求解。其中k?8． 解答数列大题的一般步骤：
（1）若已知Sn，Sn?1，an，an?1的关系，利用公式：a1?S1，an?Sn?Sn?1?n?2?，转化为an，an?1等量的递推关系。
（2）利用递推关系进行适当的变形（构造数列，两边相加，相乘等方法），将数列转化为熟悉的等差数列或等
比数列来求得通项公式。
（3）利用通项公式进行分析，利用叠加法，累乘法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等方法进行变形，
整理，得出该数列的求和公式。
（4）在整个过程中要注意必须使脚码的数值有意义。
第四部分 不等式 1． 不等式的性质：
（1）如果a?b?0，那么a?b；如果a?b?0，那么a?b；如果a?b?0，那么a?b。 （2）如果a?b，b?c，那么a?c。 （3）如果a?b，那么a?c?b?c。
??qn?1，通项公式为an??a1?k?p?k p?1（4）如果a?b，c?0，那么ac?bc；如果a?b，c?0，那么ac?bc。 （5）如果a?b，c?d，那么a?c?b?d。（不等式的相加原理） （6）如果a?b?0，c?d?0，那么ac?bd。（不等式的相乘原理） （7）如果a?b?0，那么a?b。?n?1?
nn（8）如果a?b?0，那么na?2．不等式性质的应用：
（1）证明某不等式成立。
nb。?n?1?
（2）不等式性质的推论：若a?b?0，c?0，则
bb?caa?c，?。 ?aa?cbb?c（3）已知几个字母的范围，求它们和，差，积，商的范围。（利用性质3，4，5，6）
（4）做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：如果a?b?0，那么a?b；如果a?b?0，那么a?b；
如果a?b?0，那么a?b。 （5）做商法比较正数或者正值代数式的大小：如果
aaa?1，那么a?b；如果?1，那么a?b；如果?1，bbb那么a?b。其中a?0且b?0。
3．一元二次不等式的解法：
（1）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 先将一元二次不等式的二次项系数变为正，然后看图写解集，如下表： 判别式??b?4ac 二次函数2??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c?a?0?的图象 一元二次方程 没有实数根 ax2?bx?c?0?a?0? 的根 一元二次不等式 ?b?b2?4acx1? 2a?b?b2?4acx2? 2ax1?x2??b 2aax2?bx?c?0?a?0? 的解集 一元二次不等式 ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? R ax2?bx?c?0?a?0? 的解集 ?xx21?x?x2? ? ? （2）若??0，一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根为x1，x2，若所对应一元二次不等式二次项系数a 与不等式整体的系数同号，则解集取两边；若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数异
号，则解集取中间。（同号取两边，异号取中间） （3）一元二次不等式中的分类讨论思想：
1．若二次项系数为字母，则需考虑二次项系数为0的情况。
2．若一元二次不等式中含有字母，解出的两根需要考虑大小问题，分类讨论，再取解集。
（4）一元二次不等式中的解的情况：
1．一元二次不等式ax?bx?c?0?a?0?恒成立的条件是a?0且??0；一元二次不等式
2ax2?bx?c?0?a?0?恒成立的条件为 a?0且??0。（即解集为R）
2．一元二次不等式ax?bx?c?0?a?0?解集为?的条件是a?0且??0；一元二次不等式
2ax2?bx?c?0?a?0?解集为?的条件为是a?0且??0。
4． 一元二次方程的有关技巧：
（1）速解特殊一元二次方程的根的技巧：
c。 ac2 2．一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中，若b?a?c，则x1??1，x2??。
a 1．一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中，若a?b?c?0，则x1?1，x2?2（2）十字相乘法解一元二次方程：
一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（既不是分数也不是小数），且a的为正整数，
得到ax?bx?c?0?a?0?，将a分解成2个正整数的乘积a1,a2，将c分解成2个非分数的乘积c1,c2，
2进行交叉相乘，如果a1c2?a2c1?b，那么分解成功，原方程可转化为?a1x?c1??a2x?c2??0的形式，化为两个一元一次方程，进而求得方程的根。 （3）一元二次方程根情况的讨论：
bc?0且?0。 aabc 2．两根x1，x2同时为负???0且?0。
aac 3．两根x1，x2异号??0
a 1．两根x1，x2同时为正??5． 特殊不等式的解法：
（1）分式不等式的解法：
一般方法：先将所有项移到不等式左边，通分，如果分式的值大于0，则分子与分母同号，求解；如果分
式的值小于0，则分子与分母异号，求解。注意分母不能为0。 （2）一元高次不等式的解法：
一般方法：解出其中的所有根x1，x2，?，xn，从小到大排序，画在数轴上，从右上开始像穿针线那样画一条穿过所有根的线，若有同时有偶数个相同的根，则反弹回去，若同时有奇数个相同的根，则正常穿过。若求的是大于0的解集，则看数轴上方线上对应的x，即为原不等式的解集；若求的是小于0的解集，则看数轴下方线上对应的x，即为原不等式的解集。（理论来源：三次函数以上高次函数的图象可得，这里不做研究。）
6． 解析几何的简单知识：
（1）直线的倾斜角与斜率
1．一条直线与x正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角?，若该直线与x轴平行或重合，则??0?。
2．直线斜率k的公式：若倾斜角为?，则k?tan?；若直线上任意两点坐标为?x1,y1?,?x2,y2?，则
k?y2?y1。如果该直线垂直于x轴，则该直线的斜率不存在。
x2?x1（2）直线的方程的形式：
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