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基本初等函数知识点:
1.指数
(1)n次方根的定义:
若x?a,则称x为a的n次方根,“nn”是方根的记号。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方根。 (2)方根的性质: ①
?a?nn?a
②当n是奇数时,nan?a;当n是偶数时,nan?|a|??(3)分数指数幂的意义:
mn?a(a?0)
??a(a?0)a?a(a?0,m,n?N,n?1),anm*?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)
(4)实数指数幂的运算性质: 2.对数
(1)对数的定义:
x一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数x叫做以记作:x?logaN.a为底..N的对数,
(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式) 常用对数:以10为底的对数______;
自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数______. (2)指数式与对数式的关系:
ax?N?__________(a?0,且a?1,N?0)
(3)对数的运算性质:
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: ①loga(M·N)?____________________;
M?__________________________; Nn③logaM?_________________________(n?R).
②loga注意:换底公式
logab?logcb(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).
logcann(4)几个小结论:
①loganb?_____;②logamM?______;
③loganb?_______;④logab?logba?____ (5)对数的性质:
负数没有对数;loga1?____;logaa?_____.
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3.指数函数及其性质 (1)指数函数的概念:
一般地,函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. (2)指数函数的图像和性质 a>1 00时,y>1 当x>0时,0
函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 (0,+∞).
(2)对数函数的图像和性质: a>1 定义域{x| x>0} 值域为R 在(0,+∞)上递增 函数图像都过定点(1,0) 当x>1时,y>0 当0 (1)幂函数定义: ?x01时,y<0 当0 (2)幂函数性质归纳: ①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图像都过点(1,1),不过第四象限; ②??0时,幂函数的图像通过原点,并且在区间(0,??)上是增函数; ③??0时,幂函数的图像在区间(0,??)上是减函数.与x轴、y轴没有交点; ④当?为奇数时,y?x为奇函数;当?为偶数时,y?x为偶函数。 习题 1.3a?6?a?( ) A.??a B.?a C.?a D.a 2.若函数y?a?b?1(a?0,且a?1)的图像经过二、三、四象限,则一定有( ) A.0?a?1且b?0 B.a?1且b?0 C.0?a?1且b?0 D.a?1且b?0 3.函数f(y ) x)?log2x的图像是(y y y x?? 1 A B 1 C 1 D 1 4.下列所给出的函数中,是幂函数的是( ) x x x 0 1 -1 2word0 1 0 1 0 版本可编辑.欢迎下载支持. 1 x 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 33A.y??x B.y?x C.y?2x D.y?x?1 ?335.在R上是增函数的幂函数为( ) ?2A.y?x B.y?x C.y?x D.y?x 12213a3b2?3ab2(a?0,b?0)的结果是__________. 6.化简114ba4b2?3a??7.方程lgx?lg(x?3)?1的解x =_______. 8.3?12?8,则 xy11??______. xy2x?y9.若10?3,10?4,则10xy?________. ?log2x,x?0110.已知函数f(x)??x,若f(a)?,则a?______. 2?2,x?00.3211.用“<”或“>”连结下列各式: 12.函数f(x)?(m2?m?1)xm20.6____0.320.5;0.320.5____0.340.5;0.8?0.4____0.6?0.4. ?2m?3是幂函数,且在x??0,???上是减函数,则m=_____. 13.幂函数f(x)的图像经过点?2,?,则f?? ?1?4??1??的值为______. 2???1?14.函数y????2?15.计算: 0.5x2?2x?2的递增区间是___________. 37?7??10??20; 2?0.1?2?3??????92748????exa?16.设a>0,f(x)?是R上的偶函数. aex(1) 求a的值; (2) 证明:f(x)在?0,???上是增函数 17.设函数f(x)?log2(a?b)且f(1)?1,f(2)?log212 (1) 求a,b的值; (2) 当x??1,2?时,求f(x)最大值 xx?233word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 指数函数、对数函数测试题答案 一、1、A;2、D;3、D;4、A;5、A;6、C;7、B;8、C;9、D;10、C;11、D;12、D;13、A。 二、14、a<b<c;15、a=0;16、x>0;17、log1.11. 三、 21、解:由题意得: 0.1<log0.1 1.1;18、1/4。19、44;20、 x2+3x-4≥0 ① X+5≠0 ② x-|x|≠0 ③ 由①得x≤-4或x≥1,由②得x≠-5,由③得x<0. 所以函数f(x)的定义域{x| x≤-4, x≠-5} 2x_122、解:(1)∵f(x)= f(x)=x 2+12?x∴f(-x)=?x21?1?12x1?2x2x?1 ===-x x 1?11?22?1?12x∴f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数。 (2)设x1﹥x2 2x2?12x1?1则f(x1)=x,f(x2)=x 122?12?12x1?12x2?12x1?1?2x2?1f(x1)-f(x2)=x-x=x﹥0 x21212?12?1(2?1)(2?1)所以,f(x)在定义域内是增函数。 23解:(1)函数f(x)+g(x)= f(x)=loga 2(x?1)+loga (1?x)=loga 1?x2 则1-x>0,函数的定义域为{x|-1<x<1} (2) 函数f(-x)+g(-x)= f(x)=loga所以函数f(x)+g(x)为偶函数。 (3) f(x)+g(x) =loga 21?x21?x2=f(x)+g(x) <0, 则0<1-x<1,x的集合为{x|-1<x<1} 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1x1x()(24、解:∵方程=3-2a有负根,)﹥1 33∴3-2a﹥1,即a﹤1 A的取值范围(-∞,1) 25、解:(1)∵f(x)= loga(axxx_1)(a>0且a≠1) 0 ∴a-1﹥0,即a﹥a 当a﹥1时,x的定义域(0,+∞) 当0﹤a﹤1时,x的定义域(-∞,0) (2)当a﹥1时,y=a-1是增函数,f(x)= loga(axx_1)是单调增。 当0﹤a﹤1时,y=a(3)∵f(x)= loga(a∴ f(2x)=loga f ?1xxlog(a_1)是单调减 -1是减函数,f(x)= ax_1)(a>0且a≠1) , (ax?1)(a2x?1)(x)=loga (a2x?1)(ax?1) 即loga a x2x= loga 2x -1=a+1,a x-a-2=0, 2xa=-1,(无解) a=2,x=loga 26、解:(1)设x=a=0, ∵f(x+a)=f(x)+f(a) ∴f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0 (2)设x=-a ∵f(x+a)=f(x)+f(a) ∴f(0)=f(-a)+f(a),即f(-a)=-f(a) ∴f(x)为奇函数. 27略 28、解:(1)由题意可知,用甲车离开A地时间th表示离开A地路程Skm的函数为: xS= 75t (0≤t﹤2) 150 (2≤t≤4) 150+100t (4﹤t≤5.5) (2)由题意可知,若两车在途中恰好相遇两次,那么第一次相遇应该在甲车到达中点C处停留的两个小时内的第t小时的时候发生,2h<t<4h, 则150/4<U<150/2,即37.5km/h<U≤75km. 5word版本可编辑.欢迎下载支持.
高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题,
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