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§4 导数的四则运算法则
主讲：陈晓林 时间：2012-2-23
一、教学目标： 1．知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法
通过用定义法求函数f（x）=x+x的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=xg(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数y?f(x)在x?x0处附近有定义，如果?x?0时，?y与?x的比
2
2
?y?y（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做?x?x函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作y/x?x0，即f(x0)?lim/?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x2. 导数的几何意义：是曲线y?f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为y?f(x0)?f/(x0)(x?x0) 3. 导函数(导数):如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x), 称这个函
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/数f(x)为函数y?f(x)在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数y?f(x)的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)（2）求平均变化率
?yf(x??x)?f(x) ??x?x（3）取极限，得导数y＝f?(x)?lim/?y ?x?0?x5. 常见函数的导数公式：C'?0；(x)'?nx（二）、探析新课
nn?1
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)证明：令y?f(x)?u(x)?v(x)，
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
?y?[u(x??x)?v(x??x)]?[u(x)?v(x)]?[u(x??x)?u(x)]?[v(x??x)?v(x)]??u??v，
∴
?y?u?v?y?u?v??u?v??lim???lim?lim，lim ????x?0?x?0?x?0?x?0?x?x?x?x?x?x??x?x?'''即 [u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)． 例1：求下列函数的导数：
2x（1）y?x?2； （2）y?x?lnx； （3）y?(x2?1)(x?1)； （4）
y?1?x2。 ?x2x2x2xx解：（1）y??(x?2)??(x)??(2)??2x?2ln2。
（2）y??(x?lnx)??(x)??(lnx)??（
12x3
?1。 x）
?y??(x2?1)(x?1)?(x3?x2?x?1)??(x3)??(x2)??(x)??(1)??3x2?2x?1。
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???1?x11????(4)y???2?x2???2??x2??x?2?x?1?x2x?x??x???
?(x?2)??(x?1)??(x2)???2x?3?x?2?2x??例2：求曲线y?x?321??2xx3x2?31?解：y???x??x???1上点（1，0）处的切线方程。 x?1?1?3???x?????3x2?2。 x?x?1?4。 1将x?1代入导函数得 3?1?即曲线y?x?31上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 xy?0?4(x?1)，
即y?4x?4。
设函数y?f(x)在x0处的导数为f?(x0)，g(x)?x。我们来求y?f(x)g(x)?xf(x)在x0处的导数。
2f(x0)?y(x0??x)2f(x0??x)?x0??x?x2(x0??x)2[f(x0??x)?f(x0)]?(x0??x)2?x0f(x0)?
?x2(x0??x)2?x02f(x0??x)?f(x0)?(x0??x)?f(x0)?x?x22??令?x?0，由于 lim(x0??x)?x0
?x?022?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)
?x2(x0??x)2?x0lim?2x0 ?x?0?x22知y?f(x)g(x)?xf(x)在x0处的导数值为x0f?(x0)?2x0f(x0)。
22因此y?f(x)g(x)?xf(x)的导数为xf?(x)?(x)?f(x)。
2一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f?(x)和g?(x)，我们有
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[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g(x)???f(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x) ?g(x)??g2(x)??特别地，当g(x)?k时，有
[kf(x)]??kf?(x)
例3：求下列函数的导数：
2x（1）y?xe； （2）y?2x2x2xxsinx； （3）y?xlnx。
x2x2x解：（1）y??(xe)??(x)?e?x(e)??2xe?xe?(2x?x)e；
（2）y??(xsinx)??(x)?sinx?x(sinx)??sinx2x?xcosx；
（3）y??(xlnx)??(x)?lnx?x(lnx)??1?lnx?x?例4：求下列函数的导数：
1?lnx?1。 xx2sinx（1）y?； （2）y?。
lnxx?sinx?(sinx)??x?sinx?(x)?cosx?x?sinx?1xcosx?sinx?解：（1）y???； ????222xxxx???x2?(x2)?lnx?x2?(lnx)??（2）y???2?lnx???(lnx)???2x?lnx?x2?ln2x1x?x(2lnx?1)
ln2x(三)、练习：课本P44练习：1、2. 课本P46练习1.
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
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[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g(x)???f(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)? ?g(x)?2g(x)??（五）、作业：课本P47习题2-4：A组2、3 B组2
五、教后反思：
本节课成功之点：
（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f（x）=x+x
2
的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2）
（3） 由定义法求f(x)=xg(x)的导数，发现函数乘积的导数，
归纳出两个函数积、商的求导发则。
（4）
（5） 通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出
求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 不足之处：
学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。
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(整理)导数的四则运算法则.
