第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
年份 卷别 卷Ⅰ 2024 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 函数的零点问题·T9 指数型函数图象的识别·T3 对数的运算及不等式性质·T12 指数与对数的互化、对数运算、比较大小·T11 函数的零点问题·T11 幂函数、指数函数、对数函数的单调性、比较大小·T8 命题分析 1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大． 2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近2016 卷Ⅲ 指数函数与幂函数的单调性、比较大小·T6 几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难.
基本初等函数的图象与性质(综合型)
指数与对数式的8个运算公式 (1)a·a＝amnm＋n2017 .(2)(a)＝a.(3)(ab)＝ab.(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)loga＝
nlogNmnmnmmmMNlogaM－logaN.(6)logaM＝nlogaM.(7)aalogbN＝N.(8)logaN＝.
logba[注意] (1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，
N>0.
[典型例题]
1 (1)(2024·高考天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系
32为( )
A．a>b>c
C．c>b>a
1
(2)函数y＝＋ln|x|的图象大致为( )
B．b>a>c D．c>a>b
x
1
【解析】 (1)因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log1＝log23>log2e>1，所以
32
c>a>b，故选D.
111
(2)当x<0时，y＝＋ln(－x)，由函数y＝，y＝ln(－x)单调递减，知函数y＝＋ln(－
xxxx)单调递减，排除C，D；
11当x>0时，y＝＋ln x，此时f(1)＝＋ln 1＝1，而选项A中函数的最小值为2，故排
x1除A，只有B正确．故选B.
【答案】 (1)D (2)B
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断． (3)对于幂函数y＝x的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同． [对点训练] 1．(2024·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2 |x－m| α－1为偶函数，记a＝f(log0.53)， b＝f(log25)，c＝f(2m)，则( ) A．a 解析：选C.函数f(x)＝2＝2 log3 2 |x－m| B．a －1为偶函数，则m＝0，则f(x)＝2－1，a＝f(log0.53)－1＝4，c＝f(0)＝2－1＝0.故c 0 |x| －1＝2，b＝f(log25)＝2 log5 2 1x2．已知a是大于0的常数，把函数y＝a和y＝＋x的图象画在同一平面直角坐标系 ax中，不可能出现的是( ) 11 解析：选D.因为a>0，所以y＝＋x是对勾函数，若0 ax 函数的零点(综合型) 函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [典型例题] 命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况 (1)已知实数a>1，0 B．(－1，0) D．(1，2) x(2)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x) ?13?3 ＝x，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间?－，?上零点的个数为( ) ?22? A．3 C．5 xB．4 D．6 【解析】 (1)因为a>1，0 所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0， a所以f(－1)·f(0)<0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点． (2)由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f(x)＝x，所以f(x)在[－1，2]上的图象如图． 3 令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，两函数y＝f(x)与y＝|cos πx| ?13?的图象在?－，?上的交点有5个． ?22? 【答案】 (1)B (2)C 判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数． (2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题． 命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围 ?e， x≤0? (2024·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝?，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x) ?ln x， x>0? x存在2个零点，则a的取值范围是( ) A．[－1，0) C．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. 【答案】 C 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． [对点训练] 1．(2024·洛阳第一次统考)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2－1，则方程|cos πx|－f(x)＝0在[－1，3]上的所有根的和为( ) A．8 C．10 B．9 D．11 x解析：选D.方程|cos πx|－f(x)＝0在[－1，3]上的所有根的和即y＝|cos πx|与y＝f(x)在[－1，3]上的图象交点的横坐标的和．由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(1－x)＝f(x－1)得f(x)的图象关于y轴对称，由f(1＋x)＝f(x－1)得 f(x)的一个周 期为2，而当0≤x≤1时，f(x)＝2－1，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝|cos πx|在[－1，3]上的大致图象，如图所示， x 易知两图象在[－1，3]上共有11个交点，又y＝f(x)，y＝|cos πx|的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称，故所有根的和为11.故选D. e 2．已知函数f(x)＝－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值 xx范围是________． 解析：由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等
2024届高考数学二轮复习第二部分专项二专题一2第2讲基本初等函数函数与方程及函数的应用学案
