5.6三角函数的图像和性质
创设情景兴趣导入 问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？
． 解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 推广 类似这样的周期现象还有哪些？
动脑思考探索新知 概念
对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，当x取定义域D
内的每一个值时,都有x?T?D,并且等式f(x?T)?y?f(x)叫做周期函数，常数Tf(x)成立，那么，函数
叫做这个函数的一个周期．
由于正弦函数的定义域是实数集R，对??R，恒有??2kπ?R(k?Z)，
4π，6π，并且sin(??2kπ)=sin?(k?Z)，因此正弦函数是周期函数，并且2π，
及?2π，?4π，都是它的周期．
通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2?．
构建问题探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2?的区间（如?0,2??，??2?,0?,?2?,4??）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移?0,2??上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在?0,2??上的图像． 问题 用“描点法”作函数y?sinx在?0,2??上的图像． 解决 把区间?0,2??分成12等份，并且分别求得函数y?sinx在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材）
以表中的x,y值为坐标，描出点(x,y)，用光滑曲线依次联结各点，得到y?sinx在?0,2??上的图像．（见教材） 推广 将函数y?sinx在?0,2??上的图像向左或向右平移2?，4?，，就得到y?sinx在（-?,??）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材）
动脑思考探索新知 概念 正弦曲线夹在两条直线y??1和y?1之间，即对任意的角x，都有
sinx?1成立，函数的这种性质叫做有界性．
一般地，设函数y?f(x)在区间(a,b)上有定义，如果存在一个正数M，对任意的x?(a,b)都有
f(x)?M，那么函数y?f(x)叫做区间(a,b)内
的有界函数．如果这样的M不存在，函数y?f(x)叫做区间(a,b)上的无界函数．
显然，正弦函数是R内的有界函数．
归纳 正弦函数y?sinx的定义域是实数集R．具有下面的性质： （1）是R内的有界函数，其值域为??1,1?．当x???2k?(k?Z)时,
2ymax?1；当x???2k?(k?Z)时,ymin??1．
??（2）是周期为2π的周期函数． （3）是奇函数．
（4）在每一个区间(???2k?,??2k??(k?Z)上都是增函数,其函数值由
22?1增大到1；在每一个区间(??2k?,3??2k??(k?Z)上都是减函数，其函
22数值由1减小到?1．
动脑思考探索新知
观察发现，正弦函数y?sinx在?0,2??上的图像中有五个关键点：
(0,0),
????,1?, ?2? ??,0?,
?3???,?1?, ?2? ?2?,0?．
描出这五个点后，正弦函数y?sinx,在?0,2π?上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在?0,2π?上的简图．这种作图方法叫做“五点法”．
巩固知识典型例题
例1利用“五点法”作函数y?1?sinx在?0,2π?上的图像．
分析y?sinx图像中的五个关键点的横坐标分别是0，?，?，??，??，
22这里要求出y?1?sinx在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，
高教版中职数学(基础模块)上册5.6《三角函数的图像和性质》word教案
