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[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1
1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9.则D(X)等于
3A．6 B．9 C．3 D．4 111
解析 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
333111222D(X)＝(3－6)×＋(6－6)×＋(9－6)×＝6. 333答案 A
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为 A．100和0.08 B．20和0.4 C．10和0.2 D．10和0.8
?np＝8，
解析 由于ξ～B(n，p)，所以?得n＝10，p＝0.8.
?np（1－p）＝1.6，答案 D
3．设X服从两点分布，分布列为
X P 其中p∈(0，1)，则 A．E(X)＝p，D(X)＝p3 B．E(X)＝p，D(X)＝p2 C．E(X)＝q，D(X)＝q2 D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2
解析 X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p. D(X)＝p(1－p)＝p－p2. 答案 D
4．随机变量X的分布列如下：
X P
0 p 1 q 1 0.5 2 x 3 y
15
，则D(X)等于 8
793355A. B. C. D. 32326464
1
15x＝，???1×0.5＋2x＋3y＝，?88得?解析 由?
3??0.5＋x＋y＝1，??y＝8.若E(X)＝
?15?21?15?21?15?2355
所以D(X)＝?1－8?×＋?2－8?×＋?3－8?×＝.
????2?8?864答案 D
5．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4) 4p4(1－p)6 答案 B 6．设10≤x1 的概率均为0.2，随机变量ξ2取值 ，，，，的概22222率也均为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则 A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1) D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 222解析 由于取所有值时的概率均相等，所以只需比较A＝x21＋x2＋x3＋x4＋ x25与 ?x1＋x2?2?x2＋x3?2?x3＋x4?2?x4＋x5?2?x5＋x1?2 ?＋??＋??＋??＋??的大小即可． B＝? ?2??3??2??2??2? 2222x21＋x2＋x3＋x4＋x5x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x5＋x5x1AB＝＋≤＋ 222 22＋x2222222x2x21＋x23x3＋x4x4＋x5x5＋x1＋＋＋＋22222 ＝A. 2 因为这5个数互不相等，所以D(ξ1)>D(ξ2)． 答案 A 二、填空题（每小题5分，共15分） 7．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________． 解析 根据二项分布的期望、方差公式求解． ?np＝30，1 由E(X)＝30，D(X)＝20，可得?解得p＝. 3?np（1－p）＝20，答案 1 3 8．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________. ξ P 0 1 2 11p －p 221?3?解析 E(ξ)＝p＋1≤?0≤p≤2?；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1. ?2? 3 答案 1 2 9．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0 解析 成功次数X服从二项分布即X～B(100，p)，易得D(X)＝100p(1－1?p＋（1－p）?2 ?＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝时取最大值． p)≤100?22?? 1 故当成功次数的标准差最大时p＝. 2 1 答案 2三、解答题（本大题共3小题，共35分） 10．（10分）编号为1，2，3的三位同学随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．
人教A版数学选修2-3抢分教程能力提升：第2章 随机变量及其分布 2-3-2
