经分析过这种现象。 二、久期
债券的久期( Duration)的概念最早是马考勒(F.R.Macaulay)1938年提出的，所以又称
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马考勒久期(简记为D)。马考勒使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间，即马考勒久期。
（一） 马考勒久期的计算公式
T D??PV(c)?ttt?1B??[t?1TPV(ct)?t] （10.6） P0其中，D是马考勒久期，B 是债券当前的市场价格，PV(ct)是债券未来第t期可现金流（利息或本金）的现值，T是债券的到期时间。需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。
例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。该债券的有关数据详见表10-6。利用公式（10.6），可知：
D?
72.73?1?66.12?2?811.40?32639.17 ??2.78(年）950.25950.25表4-6 马考勒久期计算举例
未来现金流支付时间，t 1 2 3 加总 未来现金流（美元），c 80美元 80美元 1080美元 现值系数 未来现金流的现值,PV(ct) 72.73美元 66.12美元 811.40美元 950.25美元 现值乘以支付时间，PV(ct) ?t 72.73美元 132.23美元 2434.21美元 2639.17美元 0.9091 0.8264 0.7513 （二） 马考勒久期定理
关于马考勒久期（MD）与债券的期限（T）之间的关系，存在以下6个定理。 4
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Macaulay, F.R.,1938, “ Some Theoretic Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States Since 1856”, National Bureau of Economic Research ,Columbia, New York. 5 Francis, J.C., 1986, “ Investments: Analysis and Management”, 4th edition, McGraw-Hill Book Company, Box11-1, pp. 297.
定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。
由于该种债券以贴现方式发行，期间不支付利息，到期一次性偿还本金。所以，它的市场价格应该等于到期偿还的本金的现值，即：
D?PV(cT)?T?1?T?T （4.7） B 其中，cT是第T期偿还的本金，PV(cT)是相应的现值。
定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1，即：
T D??PV(c)?ttt?1B?PV(c1)PV(c2)PV(cT)?1??2????T?T （4.8） BBB 定理三：统一公债的马考勒久期等于?1?1r?，其中r是计算现值采用的贴现率，即：
1D?1? （4.9）
r定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。
息票率越高，早期支付的现金流的权重越大，加权平均的到期时间自然就越短。 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。
对于平价和溢价的债券而言，到期时间越长，久期也越长，这是显而易见的。令我们感到意外的是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而越短。
定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。
这是因为到期收益率越低，远期支付的现金流价值相对越大，其在债券总价值中占的权重也越大。 三、凸度
债券的凸度(Convexity)是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。从公式（10.16）可以看出，久期实际上等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。我们可以把债券的凸度（C）类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格，即：
1?2P C? （4.18） 2P?y
在现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系，而是非线性关系。如果我们只用久期来估计收益率变动与价格变动率之间的关系，那么从公式（10.17）可以看出，收益率上升或下跌一个固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与事实不符。
图4-5 价格敏感度与凸度的关系
在图4-5中，A直线表示用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系，B、C曲线分别表示不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系，其中C的凸度大于B。从图4-5可以看出，当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；而当收益率下降时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。这说明：（1）当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；（2）在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
考虑了凸度问题后，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系可以重新写为：
?P12??D*?y?C??y? （4.19） P2 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示
为：
?P12??D*?y?C??y? （4.20） P2从实际使用效果看（参见本书所附光盘中标题为“债券凸度”的EXCEL模板），公式（4.20）
所得出的近似估计与实际值的差别是可以忽略不计的。
免疫
? 久期免疫：
? 免疫技术：由雷丁顿 (Readington, 1952) 首先提出，投资者或金融机构用来保护
他们的全部金融资产免受利率波动影响的策略。 ? 两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险，
? 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持
有期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 ? 久期免疫的进化
? 免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久
期的债券资产组合。 ? 久期免疫的缺陷：
久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或损失。
? 改进方法：
由于凸度是二阶估计，考虑凸度可以提高利用久期得到的结果 ，尤其是在利率变化很大时，凸度可以修正通过久期得到关于债券价格变化的估计
第4章-债券的价值分析培训课件
