路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库
课时跟踪训练(五十二) 抛物线
[基础巩固]
一、选择题
1．若抛物线y＝2px的焦点与双曲线－y＝1的右焦点重合，则p的值为( )
3A．－4 B．4 C．－2 D．2
2
x2
2
??[解析] 抛物线的焦点坐标为?，0?， ?2?
由双曲线的方程可知a＝3，b＝1， 所以c＝a＋b＝4，即c＝2， 所以右焦点为(2,0)，所以＝2，p＝4.
2[答案] B
2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y＝2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9 C．10 D．18
2
2
2
2
2
2
pp??2
[解析] 抛物线y＝2px的焦点为?，0?，准线为x＝－.由题意可得4＋＝9，解得p22?2?
＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝10.
[答案] C
3．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，
2
pppkxPF⊥x轴，则k＝( )
13
A. B．1 C. D．2 22
[解析] 抛物线C的焦点坐标为F(1,0)，PF⊥x轴，∴xP＝xF＝1.又∵yP＝4xP，∴yP＝4.∵yP＝(k>0)，∴yP＝2，∴k＝xPyP＝2.故选D.
[答案] D
4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A.5 B．22 C．23 D．33
[解析] 解法一：依题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝3(x－1)．由
2
2
2
kxP1
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?y＝3x－1，?2
?y＝4x，
1
得x＝或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,23)，由MN⊥l，得|MN|
3
＝|MF|＝3＋1＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×
3
＝23，选C. 2
2
解法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝＝4，又∠
1－cos60°
NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到
直线NF的距离为4×
[答案] C
5．已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，
2
3
＝23，选C. 2
PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.C.
7π2π B. 1233π5π D. 46
[解析] 由抛物线定义知|PF|＝|PA|，∴P点坐标为(3，23)，所以A点坐标为(－π2
1,23)，AF与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为π，选B.
33
[答案] B
6．设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y＝4x或y＝8x C．y＝4x或y＝16x
2
2
2
2
2
B．y＝2x或y＝8x D．y＝2x或y＝16x
→
2
2
22
?p?[解析] 由已知得抛物线的焦点F?，0?，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF＝
?2
?
?p，－2?，?y0??8?2
AF·AM＝0，即y0－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M?，4?.?2?AM＝?2p，y0－2?.由已知得，
?????p?
2
→
2
→→
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由|MF|＝5得，
[答案] C 二、填空题
7．已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
[解析] 由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
[答案] 2
8．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF的面积为________．
[解析] 由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m，22
2
2
2
?8－p?2＋16＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.
?p2???
m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×＝8.
[答案] 8
9．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
[解析] 设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝2323142
，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝. 3333
4[答案]
3三、解答题
10．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解] (1)抛物线y＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为
22
22
2
1
2
ppy2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)． 4
又∵F(1,0)，∴kFA＝. 3
3
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练52抛物线文
