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课题：导数与函数的单调性、极值、最值 科目： 数学 提供者：段秀香 教学对象：高三 单位：静海第六中学 课时第1课时 一、教学内容分析 现在中学数学新教材中，导数（选修2-2）处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。天津高考中必有考一道解答题（如2009-20XX年常规题或2012-20XX年压轴题）和一道选择题或填空题。这节课主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 二、教学目标 知识与技能 通过复习使学生能够利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值 过程与方法目标 通过对导数这一块内容的复习归纳，发展学生的推理能力和运算能力，让学生体会从发现问题、分析问题、解决问题的乐趣， 情感态度与价值观 通过探究过程，提高学生的悟性，增强学生的应考信心，从而争取最好的教学效果。 三、学习者特征分析 我所教两个班级（高三新接手）：一个重点班一个普通班，重点班基础较好，普通班起点较低。对学生的了解方式：两个多月的观察和接触了解以及高二期末成绩和高三第一次月考成绩，另外，还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。 四、教学策略选择与设计 教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。 五、教学重点 1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分． 学习必备 欢迎下载
2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 教学难点 1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． 2． 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3． 解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值 六、教学过程 教师活动 题型一 利用导数研究函数的单调性 学生活动 设计意图 让学生进一步明确(1)利用导数的符号来判断函数的单调性； (2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题； (3)f(x)为增函数充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 教师启迪 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 学生自主完成解答过程， 然后利用投例1 已知函数f(x)＝ex－ax－1. 影展示，纠正(1)求f(x)的单调增区间； 错误，规范书(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值写。 范围，若不存在，请说明理由． x解 f′(x)＝e－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0， 即f(x)在R上单调递增， xx若a>0，e－a≥0，∴e≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R， 当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)． (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． － 又∵－2 直击高考1 江西卷12．设增，，则是的（ B ） 在 学生小组合作学习，展示内单调递成果，其他组点评 Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 学生自主完让学生明确 成解答过程，(1)导函数的题型二 利用导数求函数的极值 教师启迪 (1)通过f′(2)的值确定a；(2)解f′(x)＝0，然后要讨论然后利用投零点并不一定两个零点的大小确定函数的极值． 1例2 设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． e设f(x)＝，其中a为正实数． 1＋ax24(1)当a＝时，求f(x)的极值点； 3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 1＋ax2－2ax解 对f(x)求导得f′(x)＝e·.① ?1＋ax2?2xx影展示纠正就是函数的极错误，规范书值点．所以在写 求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 4(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 331解得x1＝，x2＝.结合①，可知 22x f′(x) f(x) ?－∞，1? 2??＋ ↗ 1 20 极大值 ?1，3? ?22?－ ↘ 3 20 极小值 ?3，＋∞? ?2?＋ ↗ 31所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点． 22(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件 a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合a>0，知0
导数与函数的单调性极值最值 教学设计
