全国初中数学竞赛辅导(初一)
（上）
目录
第一讲 有理数的巧算…………………………………………………………（1） 第二讲 绝对值…………………………………………………………………（10） 第三讲 求代数式的值…………………………………………………………（17） 第四讲 一元一次方程…………………………………………………………（24） 第五讲 方程组的解法…………………………………………………………（32） 第六讲 一次不等式(不等式组)的解法………………………………………（40） 第七讲 含绝对值的方程及不等式……………………………………………（47） 第八讲 不等式的应用…………………………………………………………（56） 第九讲 “设而不求”的未知数………………………………………………（64） 第十讲 整式的乘法与除法……………………………………………………（73） 第十一讲 线段与角…………………………………………………………（79） 第十二讲 平行线问题…………………………………………………………（88）
第一讲 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算：
分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
例2 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．
分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)·n．
分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有
n+1
n+1
当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)·n=n，所以有
n+1
例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=100-2．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过
2222
程变为 (a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b．
于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a-b， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例5 计算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=3000-1=8 999 999． 例6 计算 103×97×10 009的值．
解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(100-9)(100+9)=100-9=99 999 919．
2
2
4
2
2
2
2
22
2
例7 计算：
分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变
2
为n-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得
n-(n-1)=n-n+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
例8 计算：(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)．
分析 式子中2，2，2，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一
22
个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a-b了． 解 原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)×(2+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)×(2+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=…… =(2-1)(2+1) =2-1． 例9 计算：
6432
32
4
4
8
16
32
2
2
4
8
16
32
2
4
8
16
32
2
42
4
8
16
32
2
2
2
2
2
分析 在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a-b． 这个公式也可以反着使用，即 a-b=(a+b)(a-b)． 本题就是一个例子．
2
2
2
2
全国初中数学竞赛辅导(初1)上
