考研数学复习教程答案详解高数部分王莉

由天下分享时间：2025/1/28 19:06:58 加入收藏我要投稿点赞

第一篇高

第一章函数、极限与连续

强化训练（一）

等数学

一、选择题

2.提示：参照“例1.1.5”求解。 3.

4.解因选项(D)中的??不能保证任意小，故选(D) 5. 6.

8. 9. 10.

二、填空题

11.提示：由cosx?1?2sin212.

13.提示：由1?未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。 16.

17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。 18. 19.解因

x?0xlimfx?limae?a， ????x?0x可得。 2而f?0??a，故由f?x?在 x?0处连续可知，a??1。

20.提示：先求极限（1型）得到f?x?的表达式，再求函数的连续区间。

?三、解答题

21.(1)

(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理sin(3) (4)

(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。 (6)提示：请参照“”求解。 22.

23.解由题设极限等式条件得

112,sin。 xxlimexx?02ln(cosx?f(x))x?e,x?0lim1f(x)ln(cosx?)?1， 2xx即 limx?01f(x)1f(x)ln(cosx?)?limln(1?cosx?1?)?1， 22x?0xxxx利用等价无穷小代换，得

1f(x)cosx?1f(x)，即(cosx?1?)?1lim(?3)?1， 2x?0xx?0xx2xf(x)3故 lim?。

x?0x32lim24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.

26. 27.

28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。 30. 31. 32.

第二章一元函数微分学

强化训练（二）

一、选择题

1. 2. 3. 4.

5.解设曲线在x?x0处与x轴相切，则 y?x0??0,y??x0??0,即

3?a?x0?ax0?b?0, ? 由第二个方程得x0???，代入第一个方程可知选（A）.

233x??0?a?0,6.

7. 8.

9.提示：由方程确定的隐函数求导法则求解即可。 10.

11.解由拉格朗日中值定理得

又由f???x??0知f??x?单调增加，故有f???1??f?????f???0?，应选（B） 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20.

二、填空题 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

三、解答题 36. 37. 38. 39. 40.

41.解由题设极限等式条件可得 limex?01?f(x)?ln?1?x??x?x?1?f(x)??e3，从而limln?1?x???3。 x?0xx??f(x)?f(x)，?1lim?0，再由f?x?在x?0处连续可知， ?x?0x?xx?0进而可知 lim?1?x?x?0??f?0??0，f??0??lim又由 limf(x)?f(0)f(x)?lim?0。 x?0x?0x1?f(x)?1?f(x)?f(x)??ln?1?x??limx??lim1??3 ?x?0??x?0?2?x?0xx?x?x?x???f(x)?2，故有

x?0x2f(x)f?(x)1f?(x)?f?(0) lim2?lim?lim?2，即有f???0??4。

x?0xx?02x2x?0x得 limln?1?f(x)??x?lim?1?e??limx?0x?0x??1x1?f(x)??x??ex?0limf(x)x2?e2。

42.c?(a,b)，使得f?a??f?b??f?c?。在区间

?a,c?，?c,b?上分别应用罗尔定理知，存在?1?(a,c)，?2?(c,b)，使得

f???1??f???2??0，再在区间??1,?2?应用罗尔定理知，存在??(?1,?2)，使得f??????0。

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

51.解令f?x??xe?1?x?k，x?(??,??)。由f??x??(1?x)e?x?0，得驻点x?1。不

难看出f?1??e?k是函数f?x?的唯一极大值，也是在区间(??,??)上的最大值。当f?1??e?k?0，即k?e?1时，函数f?x?没有零点，原方程没有实根；当

?1f?1??e?1?k?0，即k?e?1时，函数f?x?只有一个零点，原方程有一个实根；当f?1??e?1?k?0，即k?e?1时，函数f?x?有两个零点，原方程有两个实根

52.

53.提示：求出曲线的曲率，再求曲率的最大值点坐标即可。

第三章一元函数积分学