2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第5节指数与指数函数课时跟踪检测理新人教A版

第五节 指数与指数函数

A级·基础过关 |固根基|

1.设a>0，将

a2a·a2

3

表示成分数指数幂，其结果是( )

1A．a2 7C．a6

5B．a6 3D．a2

解析：选C 由题意

a2

11

7－－

23＝a2＝a6.故选C． 3

a·a2

2.函数f(x)＝a正确的是( )

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0

解析：选D 解法一：由题图可知00，得b<0.故选D．

解法二：由图可知00，则

x－bx－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中

b<0.故选D．

3．(2019届广州市模拟)设a＝0.7，b＝0.4，c＝0.4，则a，b，c的大小关系为( ) A．b

x0.4

0.7

0.4

B．a

0.7

0.4

0.4

解析：选C ∵函数y＝0.4在R上单调递减，∴0.4<0.4，即b

∴0.4<0.7，即c

4．(2019届日照模拟)若x∈(2，4)，a＝2x，b＝(2)，c＝22，则a，b，c的大小关系是( )

A．a>b>c C．c>a>b

x2

2x2

0.4

0.4

x2xB．a>c>b D．b>a>c

2

解析：选B ∵b＝(2)＝2，∴比较a，b，c的大小，只需比较当x∈(2，4)时x，2x，

- 1 -

2的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x>2>2x，则a>c>b.故选B．

??f（x），x>0，

5.(2019届北京丰台模拟)已知奇函数y＝?如果f(x)

?g（x），x<0.?

x2x＝a(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝( )

x?1?A．??

?2?

－x－x

?1?B．－?? ?2?

D．－2

xxC．2

1?x11??1?解析：选D 由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝??，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－??

22?2??2?－xx＝－2，故选D．

?1?6．二次函数y＝－x－4x(x>－2)与指数函数y＝??的交点有( ) ?2?

2

xA．3个 C．1个

2

B．2个 D．0个

2

解析：选C 因为二次函数y＝－x－4x＝－(x＋2)＋4(x>－2)，且

?1?x＝－1时，y＝－x－4x＝3，y＝??＝2，当x＝－2时，y＝－x2－4x＝?2?

2

x?1??1?2

4，y＝??＝4，在坐标系中画出y＝－x－4x(x>－2)与y＝??的大致图

?2??2?

象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C．

1

1－7?49?7??x－x7．已知f(x)＝2－2，a＝??，b＝??5，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关

9?9??7?系为( )

A．f(b)

B．f(c)

xx1

11－7?4?9??9??x－x解析：选B 易知f(x)＝2－2在R上为增函数，又a＝??＝??4>??5＝b>0，c＝

?9??7??7?7

log2<0，则a>b>c，所以f(c)

9

8．已知函数f(x)＝a则实数a的值是( )

A．1 C．3

解析：选B ∵f(x)＝a

x＋1x＋1

－2(a＞0且a≠1)，且函数y＝f(－x)的图象经过定点(－1，2)，

B．2 D．4

－2，∴f(－x)＝a－x＋1

－2，

- 2 -

∵函数y＝f(－x)的图象经过定点(－1，2)， ∴a1＋1

－2＝2，∴a＝2(负值舍去)，故选B．

2

9．不等式2x－x<4的解集为________．

解析：不等式2x－x<4可转化为2x－x<2，利用指数函数y＝2的单调性可得，x－x<2，

2

2

2

2

x解得－1

答案：{x|－1

1??－2a(a>0且a≠1)的图象恒过定点?x0，?，则函数f(x)在[0，3]3??

上的最小值等于________．

解析：令x－2＝0，得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，1－2a)，1?x－221?因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝??－，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0，3]上的

33?3?1

最小值为f(3)＝－.

3

1

答案：－

3

12x＋k11．已知函数f(x)＝，若函数f(x)的图象过点(－1，3)．

3(1)求k的值；

(2)若f(a)≥27，求实数a的取值范围；

(3)若函数y＝f(|x|)－b有两个零点，求实数b的取值范围． 解：(1)∵f(－1)＝3， ∴

1－2＋k＝3， 3

∴k－2＝－1，解得k＝1. (2)由(1)及题意得，f(a)＝∴2a＋1≤－3，

解得a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．

12a＋1

≥27， 3

?1?(3)由(1)知，f(x)＝???3?

2x＋112x＋11

，∴当x≥0时，f(|x|)＝是减函数，值域为0，.

33

∵y＝f(|x|)是偶函数，

1

∴当x≤0时，y＝f(|x|)是增函数，值域为0，，

31

∴函数y＝f(|x|)－b有两个零点时，b∈0，.

3

- 3 -

－2＋b12．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， －1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，

2＋a－2＋1

从而有f(x)＝x＋1.

2＋a1－＋12－2＋1

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

4＋a1＋a－2＋111

(2)由(1)知，f(x)＝x＋1＝－＋x，

2＋222＋1

由上式易知，f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0等价于f(t－2t)<－f(2t－k)＝f(－2t＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t－2t>－2t＋k，即对一切t∈R有3t－2t－k>0， 1

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－，

31??故k的取值范围为?－∞，－?. 3??

B级·素养提升 |练能力|

13.已知函数f(x)＝2－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )

x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xxx

??2－2，x≥1，x解析：选B y＝|f(x)|＝|2－2|＝?易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x?2－2，x<1，?

xx＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B．

14．已知实数a，b满足等式2 017＝2 018，下列五个关系式：①0

A．1个 C．3个

ababB．2个 D．4个

解析：选B 设2 017＝2 018＝t，如图所示，由函数图象可得，若t>1，则有a>b>0；

- 4 -

若t＝1，则有a＝b＝0；若0

15．(2019届皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝a－a(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．

①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当01时，函数f(|x|)的最大值是0.

解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①为真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤为假命题．综上，真命题是①③④.

答案：①③④

11

16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x＋x，则此函数的值

42域为________．

1?211?x2

解析：设t＝x，当x≥0时，2≥1，∴0

24?2?1?1?∴0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈?0，?.∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤04?4?

x－x?1??11?时，f(x)∈?－，0?.故函数的值域为?－，?. ?4??44?

?11?答案：?－，? ?44?

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