模型组合讲解一一追及、相遇模型
文/孙立刚
、追及、相遇模型（同一直线上） 【模型概述】
追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时 刻到达同一位置。 可见，相遇的物体必然存在以下两个关系： 位置之间存在一定的位移关系。 动时间关系为t甲t乙
一是相遇位置与各物体的初始
若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的
t,则运
运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发厶
t。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
【模型讲解】 1. 利用不等式求解
例1:甲、乙两物体相距S，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静 止不动。甲物体在前，初速度为
V1，加速度大小为ai。乙物体在后，初速度为 V2,加速度
大小为a2且知V1 Vi v 解析：若是 — 一，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中， a i a? 乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为 VV2a1 2a2 2 i 2 2 若是— a? a? -，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时 V共 V1 刻，此时两物体相距最近，根据 a1t V2 a2t，求得 V2 V1 a? 在t时间内 甲的位移s1 V1 乙的位移s2 代入表达式 S S S| (V2 V1) S2 求得 S S 2(2 1 ) a a 评点：本题是一个比较特殊的追及问题 （减速追减速）。求解时要对各种可能的情况进行 全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的 长短寻找两物体相距最近的临界条件。 2. 巧用图象法求解 例2 :如图1所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为 vs 和VA。空气中声音传播的速率为 Vp，设Vs Vp, VA VP，空气相对于地面没有流动。 叫 叫 5 F —— 1 T 图1 A ■ （1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为 t，请根据发出的这两个声信号从声源 传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔 t'。 （2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频 率间的关系式。 解析：作声源 S、观察者A、声信号p（ P1为首发声信号, 时间图象如图 P2为再发声信号）的位移一有： S Vs Vp ( t to) S' VA t' Vp ( t' to) 两式相减可得: VA t' Vs t Vp ( t' t) Vp t' p解得 VP VA （2设声源发出声波的振动周期为 T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的 ） 周期为Vp Vs T' —sT VP VA 由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为 Vp VA VP VS 则 评点：图象分速度图象和位移图象， 位移图线的斜率为速度， 速度图线的斜率为加速度, 速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。 3. 妙取参照物求解 例3:火车甲正以速度 vi向前行驶，司机突然发现前方距甲 d处有火车乙正以较小速度 V2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速 度a应满足什么条件？ 解析：设以火车乙为参照物， 则甲相对乙做初速为（vj v2）、加速度为a的匀减速运动。 若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲 车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为 2 do (V1 V2)2 2ad, a 2d 即：0 (w v2) 故不相撞的条件为a (V1 V2)2 2d 【模型要点】 追及、相遇问题特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间 内能否到达相同的空间位置问题。 一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。 一个条件: 即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件， 也是分析判断的切入点。 【特别说明】 1. 匀减速运动的物体追同向匀速运动物体 若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时 二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二 者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度， 被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。 2. 初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体 只要时间足够长，追赶者一定能追上被追赶者发生碰撞。 若位移相等即追上（同一地点出发） 。 当二者速度相等时有最大距离。 则还有一次 在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自 发生的位移绝对值之和为开始时两物体间的距离时即相遇。 【模型演练】 （2005年徐州模考）在一条平直的公路上，乙车以 10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车 L满足什 的后面作初速度为 15m/s，加速度大小为 0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离 么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3 ）两车能相遇两次（设两车相 遇时互不影响各自的运动） 答案：设两车速度相等经历的时间为 t,则甲车恰能追及乙车时，应有 a甲t v甲t v乙t L 2 v甲 v乙 其中t — ，解得L 25m a甲 若L 25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。 若L 25m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。 若L 25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两 次。（文/孙晋善） 、追及、相遇模型（不在一条直线上） 【模型概述】 不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也较为常见， 如2000年的上海高考中的“估算 出飞机速度”，2004年广西高考“观察者看卫星”等，该类问题其实是两种不在一条直线上 的运动或不同运动的组合体，在空间上在某一时刻到达同一位置。 【模型讲解】 例?有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船 被风刮跑，其方向与湖岸成 已知他在岸上跑的速度为 15°角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船， 4.0km/h，在水中游的速度为 2.0km/h，问此人能否追及小船？ 解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此就将一个运动问题通 过类比法可转化为光的折射问题。 如图3所示，船沿 OP方向被刮跑，设人从 O点出发先沿湖岸跑，在 A点入水游到OP 方向的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。 根据折射定律: sin 90 sin vi v2 4.0 2.0 解得 30 , 180 15 （90 ） 45 B点，则人不 在这最短时间内，若船还未到达 B点，则人能追上小船，若船已经通过了 能追上小船，所以船刚好能到达 根据正弦定理 B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速 vm。 Vmt sin 120 v1t1 v2t2 sin 45 sin15 又 t 1 t2 由以上两式可解得: vm v.v2 sin120 W sin 15 v2 sin 45 口 - 2.2km/h 而小船实际速度只有 2.5km/h，小于2 2km/h，所以 此即小船能被人追上的最大速度， 人能追上小船。 【模型要点】 从空间的角度来讲，两物体经过一段时间到达同一位置。必然存在两种关系：一是空间 关系，不在一条直线的相遇问题要做好几何图形，禾U用三角形知识解题。二是时间关系。这 是解决该类问题的切入点。 【特别说明】 圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方向追击的物体转过的角度 | 1 体相遇或相距最近；反方向转动的物体转过的 角度| 1 2 2 | 2n （n 0、1、2、 ）时表明两物 I 2n （n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。不同一圆、同方 向追击的物体转过的角度| j 2 | 2n （ n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。 【模型演练】 1.如图4所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星 O做圆周运动，旋转方向相同。 的周期为T1, B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则： A. 经过时间t （ ） A行星 T1 T2，两行星再次相距最近 ，两行星再次相距最近 T1T2 B. 经过时间t T2 T1 T '两行星相距最远 ，两行星相距最远 C.经过时间t D.经过时间t 2仃2 答案：BD 「 4 图
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