换对称性，于是
??xdS???ydS???zdS．
???222所以
222(y?z)dS?xdS?z??????dS????22822224(x?y?z)dS?RdS??R 。 ????3?3?3例4 计算曲面积分
222，其中：． ?(x?y?z)dSz?a?x?y???解 根据积分线性性质，有
??(x?y?z)dS=??xdS???ydS???zdS．
????根据第一类曲面积分的对称性和奇偶性，有
??xdS???ydS?0．
??于是
??(x?y?z)dS???zdS
?????a2?x2?y2?Daa2?x2?y2dxdy???adxdy??a3．
D4 计算第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 方法一：基本方法——转化为二重积分
（1）投影法：将第二类曲面积分化为二重积分
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
????P(x(y,z),y,z)dydz???Q(x.y(x,z),z)dzdx???R(x,y,z(x,y))dxdy
DyzDzxDxy其中?号取决于?的侧方向与坐标轴方向是相同还是相反，若相同，则取正；若相反，则取负。Dxy，Dyz，Dzx分别是曲面?在坐标面xoy，yoz，zox上的投影。
（2）矢量点积法：积分曲面?:z?f(x,y)，(x,y)?D（?在xoy上的投影）
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????P,Q,R???f?,?f?,1?dxdy
xy?D其中：?号取决于?的侧面与z轴方向是相同还是相反，若相同，则取正，若相反，
则取负。
方法二：基本技巧——利用高斯高斯转化为三重积分 （3）高斯公式
??P?Q?R?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????dxdydz ??????x?y?z????其中?表示?的外侧。
222例5 计算曲面积分??xyzdxdy，其中?是球面x?y?z?1的x?0，y?0部分
?的外侧．
?2：z?1?x?y，?1：z??1?x?y，解（投影法）将?分成?1与?2，下侧；
2222
22上侧，?1与?2在xOy面上投影区域Dxy：x?y?1的第一象限部分，因此
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy
??1?2????xy(?1?x2?y2)dxdy???xy(1?x2?y2)dxdy
DxyDxy?2??xy(1?x2?y2)dxdy(极坐标变换，x?rsin?,y?rcos?)
Dxy?0?2?2sin?cos?d??r31?r2dr．
01??r31?r2dr(三角变换，r?sin?)
01?320?0??2sin?cos?d???2(sin3??sin5?)d?
?2!!4!!?2?????． ?3!!5!!?15注1 计算??xyzdxdy，只能往xOy投影，将积分曲面?表示为：z?f(x,y)，被积
?函数的z用f(x,y)去替换。
例6 计算I?部分的上侧。
22z?x?y，其中是在第一挂限和0?z?1?xdydz?ydzdx?zdxdy????解（矢量点积法）积分曲面?的法向量n??z??，?在xOy面x,?zy,1???2x,?2y,1的投影：Dxy:x2?y2?1，从而有
??I???xdydz?ydzdx?zdxdy????x,y,x2?y2???2x,?2y,1?dxdy
?Dxy?220????(x?y)dxdy???2d??r2?rdr??Dxy01?8。
注2 若曲面积分中含有两种或两种以上坐标面，常常用矢量点积法，当然也可以用投影法，但是需要做多次投影，这样会很麻烦，工作量也很大。
例7 计算曲面积分I?22???(x3?z2)dydz?(y3?2x2)dzdx?(z3?3y2)dxdy，其中?是上半球面z?1?x?y的上侧。
解 补充曲面片?1:z?0，下侧，使其变成闭曲面积分，于是有
I??????1(x3?z2)dydz?(y3?2x2)dzdx?(z3?3y2)dxdy????1?1
?????3(x2?y2?z2)dxdydz???? （利用高斯公式）
由于
16222??。 3(x?y?z)dxdydz?3d?d?r?rsin?dr??????0005?2222????
?1(x3?z2)dydz?(y3?2x2)dzdx?(z3?3y2)dxdy
????3y2dxdy??3??DxyDxyy2dxdy
2?13??3?d??r2cos2??rdr???，
004所以
6339I??????。
5420注2 应用高斯公式计算闭曲面积分，是计算闭曲面积分的基本技巧，但是如果不是闭曲面，我们常常通过补充曲面片，变成闭曲面，再应用高斯公式，但是补充的曲面片一般是平行于坐标面的平面，因为这样有利于计算函数在补充曲面片上的曲面积分。
例 8 设f(u)具有连续的导数，计算
?1I???x3dydz???z?其中?是z?侧。
?1?y????y?f???y3?dzdx??f???z3?dxdy ?z???y?z??x2?y2与球面x2?y2?z2?1与x2?y2?z2?4所围成的立体表面的外
?P?3x2，?x解 本题是闭合曲面的第二类曲面积分，满足高斯公式条件，又由于
?Q1?y??R1?y??2f????3y2，??2f????3z2，根据高斯公式 ?yz?zz?z??z??1?y???1?y??I???x3dydz??f???y3?dzdx??f???z3?dxdy
?z?z???y?z???????3(x2?y2?z2)dxdydz （利用球面坐标变化）
??3?d??4d??r2?r2sin?dr?0012??293?(2?2)。 5练习 10-2
1．计算下列对面积的曲面积分： （1）界曲面；
（2）（3）（4）
??(x?2?y2)dS，其中?是由锥面z?x2?y2及平面z?1围成的区域的整个边
??(x?2y?3z)dS，其中?是球面x?2?y2?z2?a2上z?0的部分；
????x2dS，其中?是球面x2?y2?z2?1；
22222x?y?z?a(x?y?1)dS，其中是球面． ???2．计算下列第二类曲面积分： （1）
22x?y?1被平面z?0和z?3所zdxdy?xdydz?ydzdx，其中是柱面????截得的在第一卦限内的部分的前侧；
（2）
??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy，其中函数
?f(x,y,z)连续，?是平面x?y?z?1在第四卦限内的部分的上侧；
（3）
其中?是平面x?y?z?1，x?0，y?0，z?0??xzdxdy?xydydz?yzdzdx，
?所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧； （4）
33322z?x?y，其中是抛物面在z?0和z?1之间yxdydz?xydzdx?zdxdy????部分的外侧．
3． 计算曲面积分
22224?y?x?z，其中为曲面yzdydz?(x?z)ydzdx?xydxdy????在xOz平面的右侧部分的外侧．
4．计算曲面积分球面z???(x?3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy，其中?为上半
a2?x2?y2的上侧．
22x?y?4被平面x?z?2(z?1)dxdy?ydzdx，其中为圆柱面???5．计算曲面积分
?和z?0截得的部分的外侧．
6．计算曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy，
?其中?为上半球面z?a2?x2?y2的外侧．
7．利用高斯公式计算曲面积分 （1）（2）
???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为球面x2?y2?z2?R2的外侧；
2其中?为曲面z???2xzdydz?yzdzdx?zdxdy，
?x2?y2与z?2?x2?y2所围成的立体表面的外侧．
8．设?为单位上半球面z?1?x2?y2的外侧，计算
I???dydz?dxdz?dxdy．
?9．利用斯托克斯公式计算
I?2222?Lydx?zdy?xdz，
其中L是x?y?z?a与x?y?z?0的交线，从x轴正向看逆时针方向．
第十章答案与提示
练习10-1答案与提示
1．（1）2；（2）2?a(1?2?)； （3）e?2?232a??2．提示：将曲线积分表示为在三段曲线积分的和；
4?aaa2（4）2a．提示：令x??cost，y?sint，则
2222?ta22x?yds?asin?dt?2a2； ?L?02222222222（5）2?a．提示：积分曲线是x?y?z?a与x?y的交线，也是2y?z?a
与x?y的交线；于是
a??????2y2?z2ds??ads?2?a2．
?（6）?a．提示：由于积分曲线关于x,y,z是轮换的，于是有
23
3
??x2ds??y2ds??z2ds 和 ?xds??yds??zds
?????所以有
11232222(x?y?z)ds?ads??a； ??3??3??311xds?(x?y?z)ds?0ds?0． ??????33?3562．（1）?；（2）?a；（3）0；（5）13；
215?23．．
4?24．（1）．提示：验证与路径无关或补充线段利用格林公式；（2）2．提示：利用格
4x2ds?5．（1）
林公式．
121x?2xy?y2； （2）x2y?y； 22322y22 （3）x?xy?xy?e； （4）ysinx?xcosy．
6．（1）4；（2）
??(x)dx???(y)dy．
00117．（1）12?；（2）4?．
8．?1．提示：由积分和路径无关，则有
???(1,1)(0,0)(1,0)[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy [ex?2f(x)]ydx?f(x)dy??10(1,1)(0,0)1(1,0)[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy
??[e?2f(x)]?0dx??f(1)dy??1．
0x
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
