2?I??{[acost?a(1?cost)](?asint)?[b(1?cost)?acost](acost)
0 (acost?asint)bsint}dt??2?a(a?b)。 例9计算曲线积分
? ?zdx?xdy?ydz，其中?为平面x?y?z?1被三个坐标面所截
zdx?xdy?ydz???dydz?dzdx?dxdy．
?成的三角形的整个边界，其方向与三角形的上侧满足右手法则．
解 曲线?张成曲面?是三角形，利用斯托克斯公式，得
???在xOy面上的投影区域Dxy：0?y?1?x，0?x?1．利用矢量点积法，积分曲
面?法向量为(1,1,1)，所以
? ?zdx?xdy?ydz???dydz?dzdx?dxdy?
3???(1,1,1)?(1,1,1)dxdy?3??dxdy?．
2DxyDxy题型 平面曲线积分与路径无关的条件
设D是平面单连通有界闭区域，L是D内的逐段光滑曲线，若P(x,y)，Q(x,y)，?P，?y?Q在D上连续，则下面四个命题等价： ?x（1）曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关，只与起点和终点有关；
L（2）在G内存在一个函数u(x,y)，使du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy； （3）?(x,y)?G，
?P?Q?； ?y?x（4）对G内的任意光滑或逐段光滑闭曲线L，有例10 计算I?圆周。
解（方法1）由于
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?0．
?(1,2)(0,0)(ey?3x2)dx?(xey?2y)dy，其中L是过(0,0)，(0,1)，(1,2)的
?P?Q??ey，于是曲线积分和积分路线无关。因此 ?y?x12I??(1,2)(0,0)(ey?3x2)dx?(xey?2y)dy??0(1?3x2)dx??0(ey?2y)dy?e2?5
（方法2）利用凑微分
eydx?xeydy?3x2dx?2ydy?d(xey)?dx3?dy2?d(xey?x3?y2)
所以u(x,y)?xe?x?y，故
y32I??(1,2)(0,0)(ey?3x2)dx?(xey?2y)dy?u(1,2)?u(0,0)?e2?5
练习 10-1
1．计算下列第一类曲线积分： （1）
?(x?y)ds，其中L为连接(1,0)和(0,1)两点的线段；
L
?（3）?（4）
（2）(x?y)ds，其中L为x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)，0?t?2?；
LL22ex2?y2ds，其中L为x2?y2?a2，直线y?x和x轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界；
?（5）?2y?zds，其中?是x?y?z?a与x?y的相交的圆周；
（6）?(x?2y?3z)ds，其中?是x?y?z?a与x?y?z?0的相交的圆周；
L22x2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax；
2222?22222?2．计算下列对坐标的曲线积分：
?（2）?（1）
L(x2?y2)dx，其中L是抛物线y?x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
Lxydx，其中L为圆周(x?a)2?y2?a2(a?0)及x轴所围成的在第一象限内
的区域的整个边界(逆时针方向绕行)；
?（5）?（3）ydx?xdy，其中L为圆周x?2cost，y?2sint上对应t从0到
L??的一段弧； 2xdy?ydx?(x?y?1)dz，其中?从(1,1,1)到点(2,3,4)的一条直线段；
xy?L2?y2dx，L为曲线y?sinx从点(0,0)到点(?,0)的弧段．
22223．计算I?4．计算下列曲线积分：
（1）(2xy?ycosx)dx?(1?2ysinx?3xy)dy，其中L为在抛物线2x??y上
L?3从点(0,0)和????,1?的一段弧； ?2?2?yx(y?1)dx?dy，其中L为x?y?1围成的正方形的边界，沿顺时（2）?lnL1?x22?y5．验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，
针方向．
并求这样的一个u(x,y)：
(1) (x?2y)dx?(2x?y)dy；
(2) 2xydx?(x+1)dy；
(3) (1?3xy?2xy)dx?(x?2xy?e)dy ； (4) (2xcosy?ycosx)dx?(2ysinx?xsiny)dy．
6．证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值： （1）（2）
(2,3)222232y2?(0,1)(1,1)(x?y)dx?(x?y)dy；
?(0,0)?(x)dx??(y)dy，?(x)和?(y)为连续函数．
22227．利用曲线积分，计算下列曲线所围成的图形面积：
（1）椭圆：9x?16y?144； （2）圆：x?y?4x．
8．已知曲线积分
?L[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，且f(1)?1．求
?
(1,1)(0,0)[ex?2f(x)]ydx?f(x)dy．
?xydx?y?(x)dy与积分路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且
?(0)?0，计算I??xydx?y?(x)dy．
9．设曲线积分
L(1,1)2(0,0)2 曲面积分
一 基本概念
定义1 第一类曲面积分（对面积的曲线积分）
??f(x,y,z)dS??lim?f(?,?,??(T)?0kkk?1nk)?Sk；
其中?(T)表示分割曲面?的分法T的细度，即n块曲面直径的最大值，(?k,?k,?k)是第k块曲面上的任意一点。
物理意义：第一类曲面积分表示物质曲面?的质量，其中被积函数f(x,y,z)是曲面?的面密度。
定义2 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
? ?lim?(T)?0?[P(?,?,?kkk?1nk)(?Sk)yz?Q(?k,?k,?k)(?Sk)zx?R(?k,?k,?k)(?Sk)xy]；
其中?(T)表示分割曲面?的分法T的细度，(?k,?k,?k)是第k块曲面上的任意一点。
(?Sk)yz，(?Sk)zx，(?Sk)xy是?Sk分别在坐标面yoz，zox，xoy上的投影。
物理意义：第二类曲面积分表示单位时间内流速场V流经曲面?一侧的流量，其中被
积函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)是流量场V在个坐标轴方向上的分量。
二 基本结论
定理1（第一类曲面积分性质）
（1）线性性质 (1)
(2)
(2) 曲面可加性 (3) 面积公式
??kf(x,y,z)dS?k??f(x,y,z)dS；
???????f(x,y,z)?g(x,y,z)?dS???f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS．
??1?2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS．
?（?表示曲面?的面积） ??dS??．
?(4) 恒等变换 被积函数可以用积分曲面方程作变换．
(5) 奇偶性与对称性 如果光滑或逐片光滑曲面?关于xOy坐标面对称，函数
f(x,y,z)在?上连续，则
0，??f(x,y,z)dS????2f(x,y,z)dS,??????1其中?1是?被xOy面分成的半部分．
定理2 （第二类曲面积分性质）
f(x,y,z)关于z是奇函数f(x,y,z)关于z是偶函数．
(1) 有向性 设??是与?有相反侧的同一光滑曲面， (2) 线性性质 (1) (2)
??f(x,y,z)dxdy????f(x,y,z)dxdy．
?????kf(x,y,z)dxdy?k??f(x,y,z)dxdy；
???????f(x,y,z)?g(x,y,z)?dxdy???f(x,y,z)dxdy???g(x,y,z)dxdy．
?(3) 曲面可加性
??f(x,y,z)dxdy???f(x,y,z)dxdy???f(x,y,z)dxdy
??1?2定理3 （两类曲面积分关系）
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???[P??dydzdzdxdxdy?Q?R]ds dsdsds ? ???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds
????P,Q,R???dydz,dzdx,dxdy?
?? ???F?ds
其中cos?,cos?,cos?表示?处法线的方向余弦。且
dydz?cos?ds,dzdx?cos?ds,dxdy?cos?ds。
定理4（高斯公式）
??P?Q?R?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????dxdydz ??????x?y?z?????表示?的外测。
三 基本方法
3 计算第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 方法一：基本方法——转化为二重积分
（1）曲面?方程：z?z(x,y)，(x,y)?D有界闭区域，则
???2f(x,y,z)ds???f(x,y,z(x,y))1?z?x2?z?ydxdy
D其中D是积分曲面?在xoy面的投影。
类似的，曲面方程：x?x(y,z)或y?y(z,x)时，得到相应公式。
（2）曲面?参数方程：x?x(u,v),y?y(u,v),z?z(u,v)，(u,v)?D有界闭区域
?2?yu?2?zu?2，F?xu?2?yv?2?zv?2，则 ?xv??yu?yv??zu?zv?，G?xvE?xu??f(x,y,z)ds???f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))?DEG?F2dudv
方法二：基本技巧——利用第一类曲面积分性质
dS2222例1 计算曲面积分??，其中?是球面x?y?z?a被平面z?h(0?h?a)z?截出的顶部。
解 积分曲面?的方程：z?
a2?x2?y2，于是?在xOy坐标面上的投影区域
Dxy：x2?y2?a2?h2．
又由于
2?21?z?x(x,y)?zy(x,y)?aa?x?y222，
于是有
2?a2?h2ardSa?d?dr(极坐标变换) ?dxdy22222??????00a?rza?x?y?Dxy?122? ?2?a??ln(a?r)??2?0例2 计算曲面积分
?a2?h2?2?alna． h??(2x?y?z)dS，其中?是平面x?y?z?1在第一卦限部分．
解(方法1) 曲面?的方程：z?1?x?y，则
221?zx(x,y)?zy(x,y)?1?(?1)2?(?1)2?3．
根据公式(1)，有
??(2x?y?z)dS???(x?1)?Dxy11?x3dxdy，
其中Dxy?{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}．所以
??(2x?y?z)dS?3?dx??00(1?x)dy?3?(1?x)(1?x)dx?0123. 3用曲面积分的性质解此题：
(方法2) 由于积分曲面?关于x,y,z具有轮换对称性，所以有
??xdS???ydS???zdS．
???于是
?1?xdS?xdS?ydS?zdS ????????????3??????111???(x?y?z)dS???dS??． 3?3?3?是积分曲面块的面积，即等腰三角形的面积：??13?2?2sin30?．所以 2223(2x?y?z)dS?2xdS?ydS?zdS?4xdS?． ??????????3?????22222x?y?z?R，其中：． ?(y?z)dS??例3 计算曲面积分解 由于
?22222(y?1)dS?(y?2yz?z)dS?ydS?2yzdS?z??????????dS． ?????根据曲面积分的对称性和奇偶性，有
??yzdS?0．又由于积分曲面关于x,y,z具有轮
?
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
