第十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
一 基本概念
定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线L(AB)的积分：（2）空间曲线L(AB)的积分：
n??L(AB)f(x,y)ds?lim?(T)?0?f(?,?)?skkk?1nkkk?1k
L(AB)f(x,y,z)ds?lim?(T)?0?f(?,?,?k)?sk
(?k,?k)或其中?(T)表示分割曲线L(AB)的分法T的细度，即n段曲线弧长的最大值，(?k,?k,?k)是第k段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L的质量，其中被积函数f(x,y)或f(x,y,z)表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线L(AB)的积分：
?L(AB)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim?(T)?0?[f(?,?)?xkkk?1nk?f(?k,?k)?yk]
（2）空间曲线L(AB)的积分：
?L(AB)P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
?lim?(T)?0?[f(?,?,?kkk?1nk)?xk?f(?k,?k,?k)?yk?f(?k,?k,?k)?zk]
(?k,?k)是第k段其中?(T)表示分割曲线L(AB)的分法T的细度，即n段的最大弧长，
弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F沿曲线L所作的功，被积函数P(x,y),Q(x,y)或
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)表示力F在各坐标轴上的分量。
二 基本结论
定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性
?L(AB)f(x,y)ds??LL(BA)f(x,y)ds．
L（2）线性性质 (1)
(2)
L?kf(x,y)ds?k?f(x,y)ds；
L?[f(x,y)?g(x,y)]ds???LL1f(x,y)ds??g(x,y)ds．
L（3）路径可加性 曲线L分成两段L1和L2（不重叠），则
f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds．
L2（4）弧长公式
?ds?L(L表示曲线L的弧长)．
L（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段L(AB)关于y轴对称，
?L(AB)f(x,y)ds存在，则
f(x,y)关于x是奇函数,??0,?L(AB)f(x,y)ds??2?f(x,y)ds，f(x,y)关于x是偶函数.
??L(OB)其中O点是曲线弧段L(AB)与y轴的交点．
定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性
?L(AB)P(x,y)dx???LL(BA)P(x,y)dx．
（2）线性性质 (1)
?kf(x,y)dx?k?f(x,y)dx；
(2) ?[f(x,y)?g(x,y)]dx??f(x,y)dx??LLLLg(x,y)dx．
（3）路径可加性 曲线L分成两段L1和L2（不重叠），则
?
Lf(x,y)dx??f(x,y)dx??f(x,y)dx．
L1L2定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）
dydz??dxP?Q?R?ds ?L(AB)L(AB)?dsds??ds(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ??Pdx?Qdy?Rdz??L(AB) ??L(AB)F? ds
其中cos?,cos?,cos?是曲线AB上的点的切线的方向余弦，且
dx?cos?ds,dy?cos?ds,dz?cos?ds
一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线L(AB)是直线时，则L(AB)切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。
定理4 （格林公式）
设D是由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在D上连续，则有
???Q?P?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??????dxdy L?x?x?D?其中L是围成区域D的正向边界曲线。
三 基本方法
1 计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：基本方法——转化为定积分
（1）用参数方程给出的积分曲线：x??(t)，y??(t)，a?t?b，则
b?L(AB)f(x,y)ds??f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt
a（2）用一般方程给出的积分曲线：y?y(x)，a?x?b，则
b??L(AB)f(x,y)ds??f(x,y(x))1?y?2dx
a
（3）用极坐标方程给出的积分曲线：???(?)，?????，则
L(AB)f(x,y)ds??f(?(?)cos?,?(?)sin?)?2(?)???2(?)d?
??
22例1 计算I?xyds，L:x?y?1上半圆周。
?L22解（方法1）曲线的参数方程：x?cos?,y?sin?，0????，
ds?x?2?y?2d??d?，于是有
I?1?3!!??242cos?sin?d??2(cos??cos?)d??2(???)?。 ?0?0224!!2812dx，（方法2） 曲线的一般方程：y?1?x2，?1?x?1，ds?1?y?dx?21?x?22?于是有
I??x2(1?x2)??1111?x2dx??x21?x2dx?2?x21?x2dx。
?1011令x?sin?，则
? I?2822222例2 计算I??yds，L:(x?y)?4(x?y)的第一象限部分。
L?20sin2?cos??cos?d???。
解 令x?rcos?,y?rsin?，则积分曲线的极坐标方程为：
42ds?r2?r?2d??d?，y?rsin??2sin?cos2?。
cos2?于是有
?r2?4cos2?,0????（第一象限部分）, r?2cos2?,r???2sin2?，
cos2? I??40?22sin?cos2??d??4?4sin?d???4cos?0cos2??40?2??4??1?2??。
??方法二：基本技巧——利用第一类曲线积分性质
例3 计算I??L(x?y)2ds，其中L:x2?y2?4。
解 根据曲线积分的线性性质，有
I??(x?y)2ds??(x2?y2)ds??2xyds。
LLL根据性质（4）和（5），
?根据奇偶性和对称性，
LL(x2?y2)ds??4ds?4L?4?2??2?16?，
L2?2xyds?0，于是
I??(x?y)ds?16?。
L2222例4 计算I?(x?1)ds，L:x?y?z?4与x?y?z?0相交的圆周。
?L
解 由于积分曲线关于x,y,z的具有轮换对称性，则有
?xds??yds??zds；?xds??yds??zds
LLLLLL222于是，利用积分曲线方程化简被积函数，有
1(x?y?z)ds?0， ?3LL114162222xds?(x?y?z)ds?4ds?L??， ???3L3L33L?xds?所以
I??(x?1)2ds??x2ds?2?xds??1ds?LLLL1628??4???。 33 注1 计算第一类曲线积分，有基本方法和基本技巧，在具体问题中可以兼顾考虑。
但是在有些问题中，基本方法是没有办法解决的，这可能有两种情况：一是可以建立积分曲线参数方程，转化为定积分，但没办法计算这个定积分；二是很难建立积分曲线参数方程，如例4。
2 计算第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：基本方法——转化定积分
设L(AB)的平面曲线：其参数方程：x??(t),y??(t)，起点和终点对应的参数取值分别是?和?，则
??L(AB)Pdx?Qdy??{P(?(t),?(t)]??(t)?Q[(?(t),?(t)]??(t)}dt
??设L(AB)的空间曲线：其参数方程：x??(t),y??(t),z?w(t)，起点和终点对应的参数分别是?和?，则
P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
L(AB)??[P(?(t),?(t),w(t))??(t)?Q(?(t),?(t),w(t))??(t)?R(?(t),?(t),w(t))w?(t)]dt
?? 注2 第二类曲线积分转化为定积分，积分的下限是积分曲线的起点对应的参数取值，上限是积分曲线的终点对应的参数取值，所以有时可能下限大于上限。
方法二：基本技巧——利用格林公式转化为二重积分（平面曲线）
设曲线L是闭合正向逐段光滑曲线，P(x,y)，Q(x,y)以及一阶偏导数在L围成的区域D内连续，则
?L??Q?P?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??????dxdy
?x?x?D?方法三：基本技巧——利用斯托克斯公式转化为曲面积分（空间曲线）
设有向分段光滑闭合曲线L张成分片光滑有向曲面?，P,Q,R具有一阶连续偏导数，则
dydzdzdxQdxdyR?cos?Pcos?Qcos?R?
LPdx?Qdy?Rdz????/?x?/?y?/?z????/?x?/?y?/?zdS
?P
其中L方向和?法线方向满足右手系，cos?，cos?，cos?是曲面?的法向量的方向余弦。
注3 当曲面?是平面时，方向余弦是常量。于是，当空间曲线L比较复杂时，而曲线L在某个平面上，即张成(围成)的曲面是一个平面，我们常常将第二类空间曲线积分转化为曲面积分。
注4 利用格林公式一定要平面曲线，并且是闭合的。对非闭合曲线积分，如果欲用格林公式，可以补充曲线段。通常情况下，补充的曲线段是平行于坐标轴的线段，这样有利于计算在补充曲线段上的曲线积分。
注5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法：
（1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分； （2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。
x2y2例5 计算?ydx?xdy，其中L为上半椭圆：2?2?1，取顺时针方向．
Lab解 曲线L的参数方程：x?acost，y?bsint，0?t??，因为顺时针，于是积分
22弧段的起点和终点对应的参数分别是t??和t?0，所以
?Lydx?xdy??[b2sin2t(?asint)?a2cos2t?bcost]dt
?220?ab2?sin3tdt?a2b?cos3tdt．
00??根据三角函数积分公式和性质
?于是有
?0?sintdt?2?2sin3tdt?2?03?2!!4?，?cos3tdt?0．
03!!3例6 计算
??42ab． ?L3x3dx?zy2dy?x2ydz，其中?是从点A(0,0,0)到点B(1,?1,1)的线段．
y2dx?x2dy?解 直线AB的方程为
xyz??． 1?11于是，积分曲线?的参数方程可表示为：x?t，y??t，z?t，参数t从0到1。于
是
例7 计算I?上半圆周。
解 I? ??L?x3dx?zy2dy?x2ydz??(t3?t3?t3)dt?011． 4?(exsiny?y)dx?(cosyey?1)dy，其中L是从A(a,0)到O(0,0)的
?L(exsiny?y)dx?(cosyex?1)dy??L?OA??OA
0??Q?P?12?dxdy??a。 ?dxdy?0dx???????a8?x?y?DD?222x?y?a，其中是与(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dzL?例8计算
Lxz??1ab（a,b?0）的交线，曲线是逆时针方向。
解 积分曲线参数方程：x?acost,y?asint，z?b(1?cost)，0?t?2?，所以
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
