第十一章 反常积分
教学要点
反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数 8学时 教学内容
§1 反常积分的概念 （4学时）
反常积分的引入，两类反常积分的定义 反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别 （4学时）
无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法
与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求
掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛
和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别
法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
§1 反常积分概念 一 问题的提出
例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解 设地球半径为
，火箭质量为
地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为
于是火箭上升到距地心处需要做到功为
当
时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使
例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为从小孔里流出的速度为
设在很短一段时间
内，桶里水面降低的高度为
时，水
，则有下面关系：
由此得
所以流完一桶水所需的时间应为
但是，被积函数在
上是无界函数，，所一我们取
相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二 反常积分的定义
1 无穷限反常积分的定义 ，
.
无穷限反常积分几何意义
例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 .
⑵ 计算积分 例 2 讨论以下积分的敛散性 :
.
⑴ ; ⑵ .
例3 讨论积分的敛散性 .
2 瑕积分的定义: 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点
为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.
例4 判断积分的敛散性 .
例6 讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 .
瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成
了无穷积分;
设, 积分
有 ，把无穷积分化成了瑕
第十一章 反常积分
