1.(本题满分14分)设数列?an?的前n项和为Sn,且Sn?4an?3(n?1,2,), (1)证明:数列?an?是等比数列;
(2)若数列?bn?满足bn?1?an?bn(n?1,2,),b1?2,求数列?bn?的通项公式.
2.(本小题满分12分)
等比数列?an?的各项均为正数,且2a1?3a2?1,a23?9a2a6. 1.求数列?an?的通项公式.
2.设 b?1?n?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列?b?的前项和.
?n?
3.设数列?an?1n?满足a1?2,an?1?an?322 (1) 求数列?an?的通项公式; (2) 令bn?nan,求数列的前n项和Sn
1
4.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(4﹣an)qn﹣1(q≠0,n∈N*
),求数列{bn}的前n项和Sn.
5.已知数列{an}满足,
,n∈N×
.
(1)令bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.
2
3
1.解:(1)证:因为Sn?4an?3(n?1,2,),则Sn?1?4an?1?3(n?2,3,),
所以当n?2时,an?Sn?Sn?1?4an?4an?1, 整理得an?4an?1. 5分 3由Sn?4an?3,令n?1,得a1?4a1?3,解得a1?1. 所以?an?是首项为1,公比为分
4(2)解:因为an?()n?1,
34的等比数列. 73
4由bn?1?an?bn(n?1,2,),得bn?1?bn?()n?1. 9分
3由累加得bn?b1?(b2?b`1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
41?()n?143=2?(n?2), ?3()n?1?1,
431?34当n=1时也满足,所以bn?3()n?1?1.
31。有条件92322.解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a3所以q2??9a2a6得a3?9a41可知a>0,故q?。
311由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1,所以a1?。故数列{an}的通项式为an=n。
33(Ⅱ )bn?log1a1?log1a1?...?log1a1
??(1?2?...?n) n(n?1)??2故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?1 4
所以数列{1b}的前n项和为?2nnn?1
3.解:
(Ⅰ)由已知,当n≥1时,
an?1?[(an?1?an)?(an?an?1)??(a2?a1)]?a1
?3(22n?1?22n?3??2)?2
?22(n?1)?1。
而 a1?2,
所以数列{an}的通项公式为an?1n?22。 (Ⅱ)由b?1n?nan?n?22n知
Sn?1?2?2?23?3?25??n?22n?1 ①
从而
22?Sn?1?23?2?25?3?27??n?22n?1 ②
①-②得
(1?22)?Sn?2?23?25??22n?1?n?22n?1 。即 S1n?9[(3n?1)22n?1?2]
4.解:(1)设{an}的公差为d,
由已知得
解得a1=3,d=﹣1 故an=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;
(2)由(1)的解答得,bn=n?qn﹣1
,于是
Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+(n﹣1)?qn﹣1+n?qn
. 若q≠1,将上式两边同乘以q,得
qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+(n﹣1)?qn+n?qn+1
. 将上面两式相减得到
(q﹣1)Sn=nqn
﹣(1+q+q2
+…+q
n﹣1
)
5