习题参考解答
drd2r
=?ω(exsinωt?eycosωt)， a=2=?ω2r。 1.1 v=dtdt1.2 T=
drT，TD==?sinωtex+cosωtey。 dtT
1.3 这是平行平面场，矢量线方程为v×dr=?ez(xdx+ydy)=0，积分后y2+x2=C2。
这是平面z=z0（z0是任意常量）内所有点绕z轴旋转的圆周运动。 1.4
?f?f=?f?t°=2(2x+5y+7z)，
?t?t
=28。
(1,1,1)1.5 在曲面u=C上任意点r=(x,y,z)的邻域取增量Δr=(Δx,Δy,Δz)，则
u(r+Δr)?u(r)=
?u?u?u
dx+dy+dz=?u?dr=0。 ?x?y?z
而dr是曲面点(x,y,z)处的切向方向，所以矢量?u垂直于等值面u=C。 1.6
dF?F?Fv??F1?F
=+(?F)?v=0，vn=v?==?。
?F?F?F?t?tdt
dada
=0，即a⊥。 dtdt
1.7 在a(t)?a(t)=a2两端对时间t求导数，得2a?
?mr??1?
1.8 ??F=????3?=m?????=?4πmδ(r)。
?r??r?
1.9 对于图（a），作以点P为球心的球面S， ，v∫F?dS>0，??F>0。对于图（b）
S
作以点P为几何中心的直圆柱面S，取圆柱的轴线与矢量F的方向平行，
v∫
S
F?dS=πa2(F右底面－F左底面)<0，??F<0。
?
?ez ?
??F?Fy???Fy?Fx??Fx?Fz?
ff1.10 ?×(fF)=f?z?ee+?+??x???z?x?y
yzx????y?????
??f???f??f?f?f??f?
+?Fz?Fy?ex+?Fx?Fz?ey+?Fy?Fx?ez=f?×F+?f×F。
?z??x??y???z??y??x
1.11 （1）(A??)B=Ax
（2）(A??)?=Ax
1.12 当ρ≤a时，B=
?B?B?B
+Ay+Az≠A(??B)。 ?x?y?z
??????+Ay+Az=A??? 。 ?x?y?z
μ0Iρ2 πa2
eφ，?×B=
μ0I
πa2
ez；当ρ>a时，B=
μ0I
eφ，?×B=0。 2πρ1.13 选取直角坐标系，取两个点电荷分别位于点(?a,0,0)和(a,0,0)。点P(x,y,z)处
的电场强度
E=
?1?1q??x+ax?a?1?1??
+++++yzeee ??3?3?33?x3?y3?z?4πε0?RRRRRR??1??1?12?2?2??
其中，R1=(x+a)ex+yey+zez，R2=(x?a)ex+yey+zez；在点(0,0,0)处E=0。以
33
dzzdx(x?a)R1+(x+a)R2
y为变量的方程组是 和 =（通解为z=C1y）。此=33
dydyyy(R1+R2)方程组的图形见习题1.13图，要注意零点附近电场线的变化。
+q+q
习题1.13图
2.1 作以点O为球心，以r为半径的球面S。球面上电场可写为E=Eer。根据高斯
定律的积分形式，当r
Q
er。 4πε0r2
2.2 建立圆柱坐标系，原点O位于长直导线中心，z轴与长直导线重合。设l=2a，
r=xex+yey+zez，r′=z′ez，则
??
ρl?r?r′ρl?(z+a)eρ?ρez(z?a)eρ?ρez?dz′=。 E=?3?22??224πε0??ar?r′4πε0ρρ+(z+a)ρ+(z?a)a
??1??1?2????????
2.3 利用ρv=?ε0??=?2??r?+?sinθ?+?，得
r??r??r?sinθ?θ??θ?sin2θ?φ2?
2
ε0???
2
?ε0Acos3θsinφa2??ar
（1）ρv=0，（2）ρv=，（3）ρv=q?δ(r)??e。
sin2θr4π??
2.4 根据?(P)??(Q)=∫E0?dr=E0?(rQ?rP)，令rQ=0，?(Q)=0，得?(P)=?E0?r。
PQ
2.5 p1在r2处产生的场强为E1(r2)=
3(p1?R)R?R2p1
4πε0R5
，p2受力为F21=???p2?E1(r2)??。
2.6 dF=(dp??)E=(P??)EdV,?E2=?(E?E)=2(E??)E，体积受力f=
ε?ε0
2
?(E2)。
2.7 建立直角坐标系，令n12=ez，坐标平面xOy与边界面重合，在边界面上取单位
切向矢量η，使τ=n12×η，这样当n12×(E1?E2)=0时，必有τ?(E2?E1)=0；反
过来，若τ?(E2?E1)=0，由于η的任意性，必有n12×(E2?E1)=0。
2.8 取S为包含介质边界面的扁平圆柱面，圆柱底面面积为S0。令E1，E2为两侧
介质的电场强度，则
v∫
S
dS×E=S0E2×n12?S0E1×n12+侧面积分=∫?×EdV=0，
V
令圆柱的高趋于零，得n12×(E2?E1)=0。
2.9 取直角坐标系，导体平面是xOy，导体表面的单位法向矢量n=ez。令
p=q(r2?r1)，正电荷位于r2=x2ex+y2ey+z2ez，负电荷位于r1=x1ex+y1ey+z1ez，
则正电荷的镜像电荷是负电荷，它位于r2′=x2ex+y2ey?z2ez，负电荷的镜像电荷是正电荷，它位于r1′=x1ex+y1ey?z1ez。所以
p′=q(r1′?r2′)=q??(x1?x2)ex+(y1?y2)ey??+q(z2?z1)ez，
通过配项(x1?x2)ex+(y1?y2)ey=r1?r2?(z1?z2)ez，z2?z1=(r2?r1)?ez，得
p′=q(r1?r2)+2q(z2?z1)ez=?p+2q??(r2?r1)?ez??ez=2(p?n)n?p
镜像电偶极子位于电偶极子的镜像点、导体内深度为a的地方。
2.10 建立圆柱坐标系，z轴与长直圆柱导体的轴线重合，作半径为ρ>a、长为l的
圆柱面S。假定电场强度均匀分布，且只有径向分量，则
∫
2π
3
0
D1(lρdθ)+
∫4π32π3
D2(lρdθ)+
∫2π
4π3
D3(lρdθ)=
2πlρ(D1+D2+D3)=lQl 3
而D1+D2+D3=ε1E1+ε2E2+ε3E3=(ε1+ε2+ε3)E，所以
E=
3Qleρ2π(ε1+ε2+ε3)ρ，D1=ε1E，D2=ε2E，D3=ε3E。
2.11 利用电场边界条件n×(E2?E1)=0和n?(D2?D1)=0，得E1sinθ1=E2sinθ2和
ε1E1cosθ1=ε2E2cosθ2，这两式相比可证。
2.12 建立直角坐标系，坐标平面xOy与介质边界面重合，z轴垂直穿过长直带电
导线，导线坐标为(x,0,h)。采用镜像法。在计算上半空间的电场时，认为全空间的电容率都是ε2，在下半空间的镜像点(x,0,?h)处放置线密度为ρl′的带电长直导线，令x轴的电位是零，这样上半空间点P(x,y,z)处的电位为
?2=?0+?′=
ρlρ′hh+llnln 2222ε2πε22π2y+(z?h)y+(z+h)这里?0是长直带电导线在电容率为ε2的无限大介质中产生的电位，?′是线密度为ρl′的长直镜像电荷在电容率为ε2的无限大介质中产生的电位。在计算下半空间的电场时，认为全空间的电容率都是ε1，在上半空间的点(x,0,h)处放置线密度为ρl′′的带电长直导线，这样下半空间点P(x,y,z)处的电位为
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