集合间的基本关系
【学习目标】
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)。
2．如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A?B．
3．如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B (或B?A)。
4．不含任何元素的集合叫做空集，记作?。
5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
【学习过程】
写出给定集合的子集
【例1】（1）写出集合{01，，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； （2）填写下表，并回答问题。 原集合 ? 子集 子集的个数 ?a? {a,b} ?a,b,c? 由此猜想：含n个元素的集合?a1,a2,L,an?的所有子集的个数是多少？真子集的个数
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及非空真子集的个数呢？
解 （1）不含任何元素的集合：?； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的集合：{0，1，2}。
故集合{0，1，2}的所有子集为?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。
其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。 （2） 原集合 ? {a} {a，b} {a，b，c} 子集 ? ?，{a} ?，{a}，{b}，{a，b} ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 子集的个数 1 2 4 8 这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2
规律方法 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。
（2）集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n?1)个真子集，(2n?1)个非空子集，(2n?2)个非空真子集。
变式迁移1 已知集合M满足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，写出集合M。
解 由已知条件知所求M为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。
集合基本关系的应用
【例2】（1）已知集合A?{x|?3?x?4}，B?{x|2m?1＜x＜m＋1}，且B?A．求实数m的取值范围；（2）本例（1）中，若将“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，则实数
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m的取值范围是什么？
解 （1）∵B?A，
①当B??时，m＋1?2m?1，解得m?2．
??3?2m?1?②当B??时，有?m?1?4，
?2m?1＜m?1?解得-1?m＜2， 综上得m?-1．
（2）显然A??，又A?B，∴B??， 如图所示，
?2m?1＜m?1?∴?2m?1＜?3，解得m??。 ?m?1＞4?规律方法 （1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。
（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。
（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。
变式迁移2 已知A?{x|x2－5x＋6?0}，B?{x|mx?1}，若B?A，求实数m所构成的集合M。
解 由x2?5x＋6?0得x?2或x?3． ∴A?{2，3}
由B?A知B??或B?{2}或B?{3} 若B??，则m?0； 若B?{2}，则m?；
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高中数学 必修一 集合间的基本关系 教案
