【2024年中考数学几何变形题归类辅导】
专题7：旋转的应用
【典例引领】
例题：在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=??，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当??=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
（2）如图2当??=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2√5，请直接写出△BDE的面积.
【答案】（1）????=????,????2=????2+????2;（2）????2=????2+2????2;（3）2
【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°EA2=EC2+2BE2．，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：由题意△ABC，△ADE
2都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出????=????=√，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，
2
????
????
推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】 （1）如图①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2．
故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵????=2，???? =2， ∴????=????， ∴△DAB∽△EAC， ∴
????????????
????
????√2
????
√2
=
????√2
=，∠ACE=∠ABD， ????2
∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=√2DE，BD=2EC， ∴2EA2=2EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中，
1
1
√2
∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=√2BD， ∵EC=√2BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2√5， ∴AC=2√10，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40，
∴x=2√2（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=2√2， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=×2×2=2．
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【强化训练】
1．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠??????=90°，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接????.求证：△??????的面积为2??2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△??????≌△??????)
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(2)探究2：如图2，在一般的????△??????中，∠??????=90°，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接????.请用含a的式子表示△??????的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，????=????，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接????.试探究用含a的式子表示△??????的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）△??????的面积为2??2，理由详见解析；（3）△??????的面积为4??2． (1)如图1，【分析】过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；
(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；
(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，
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1
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由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【解答】
(1)如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，
∴∠BED=∠ACB=90°，
由旋转知，AB=AD，∠ABD=90°， ∴∠ABC+∠DBE=90°， ∵∠A+∠ABC=90°， ∴∠A=∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ∠??????=∠??????
{∠??=∠?????? ，
????=????∴△ABC≌△BDE(AAS) ∴BC=DE=a， ∵S△BCD=2BC?DE， ∴S△BCD=2a2； (2)△BCD的面积为2a2，
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
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∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴AB=BD，∠ABD=90°， ∴∠ABC+∠DBE=90°， ∵∠A+∠ABC=90°， ∴∠A=∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ∠??????=∠??????{∠??=∠?????? ，
????=????∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴BC=DE=a， ∵S△BCD=2BC?DE， ∴S△BCD=2a2；
(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
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∴∠AFB=∠E=90°，BF=2BC=2a， ∴∠FAB+∠ABF=90°， ∵∠ABD=90°， ∴∠ABF+∠DBE=90°， ∴∠FAB=∠EBD，
∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB=BD， 在△AFB和△BED中，
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【阿米阿斯教育】2024年中考数学几何变形题归类辅导 专题07 旋转的应用(解析版)
