核心素养测评三十五 合情推理与演绎推理
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·钦州模拟)平面内,圆有如下性质:“圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦”,由此类比可以得到空间中,球有如下性质
A.球心与弦(非直径)的中点连线垂直于弦 B.球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆 C.与球心距离相等的弦长相等 D.与球心距离相等的小圆面积相等
【解析】选B.圆心对应球心,弦对应小圆,弦中点对应小圆圆心,根据类比推理则有:球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆.
( )
2.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:
若四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于
( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,
即V=S1r+S2r+S3r+S4r,
所以r=.
3.(2019·安庆模拟)某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是
( )
- 1 -
A.《数学史选讲》 B.《球面上的几何》 C.《对称与群》 D.《矩阵与变换》
【解析】选D.由信息①可得,甲、丙选择《矩阵与变换》和《数学史选讲》;由信息②可得,乙选择《矩阵与变换》或《球面上的几何》.第一种可能:当甲选择《矩阵与变换》时,则丙选择《数学史选讲》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,与信息③矛盾,不合题意;
第二种可能:当甲选择《数学史选讲》时,则丙选择《矩阵与变换》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,符合题意.综上可得丙同学选修的课程是《矩阵与变换》. 【变式备选】
在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是 A.甲
( ) B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意; 若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意; 若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意; 若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.
4.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(n)的表达式为
( )
A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n C.f(n)=2n-2n
2
2
D.f(n)=2n-2n+1
2
【解析】选D. 我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n-2n,故f(n)=2n-2n+1.
5.(2020·泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一项是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是2,2,2,以此类推,记此数列为{an},则a2 019= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
- 2 -
0
1
0
1
2
0
2
2
【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为2,第2组为2,2,第三组为:2,2,2,…,
001012
则数列的前n组共有
故数列的前63组共有2 016项,
项,由于=2 016,
数列的第2 017项为2,数列的第2 018项为2,数列的第2 019项为2,所以a2 019=4. 二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2019·丰台模拟)已知数列{an}的通项an=2n-1,把{an}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
(1)数阵中第5行所有项的和为________________.
(2)2 019是数阵中第i行的第j列,则i+j=________________. 【解析】(1)21+23+25+27+29=125. (2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+…+44=990, 故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65. 答案:(1)125 (2)65
7.(2020·孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr,三维空间中,球的二
2
012
维测度(表面积)S=4πr,三维测度(体积)V=πr,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr,则其四维测度W=________________.
【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr,(πr)′=2πr,三维空间中,球
2
2
3
23
的二维测度(表面积)S=4πr,三维测度(体积)V=πr,
3
4
3
23
′=4πr,四维空间中,“超球”的三维测
4
2
度V=8πr,因为(2πr)′=8πr,所以“超球”的四维测度W=2πr. 答案:2πr
4
- 3 -
8.(2020·佛山模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a+b=c(a,b,c∈N),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是________________.
2
2
2
*
【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数, 可设为x,x+1,所以(x+1)=11+x,即x=60, 所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61. 答案:60
(15分钟 25分)
1.(5分)图①是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”,重复图②的作法,得到图③为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为 ( )
2
2
2
A.n
B.n
2
C.n-1 D.n+1
【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1.
2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当
⊥
时,其离心率为
,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于
( )
A. B. C.-1 D.+1
【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为
-=1(a>0,b>0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).
- 4 -
在“黄金双曲线”中因为又
=(c,b),
2
2
⊥,所以·=0.
=(-a,b).
2
2
2
2
所以b=ac.而b=c-a,所以c-a=ac.
在等号两边同除以a,得e=
2
(负值舍去).
3.(5分)(2020·清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:
安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E 疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是( ) A.A
B.B
C.D
D.E
【解析】选C.同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为 200 s,
同时开放D、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s, 得到D疏散乘客比A快;
同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s, 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s, 得到B疏散乘客比E快;
同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s, 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s, 得到A疏散乘客比C快;
同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s, 同时开放C、D两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s, 得到D疏散乘客比B快.
综上,疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D.
4.(10分)(2019·龙岩模拟)已知函数f(x)=
,g(x)=(其中a>0,且a≠1),
(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值.
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2021年高考理科数学一轮复习阶段测试三十五合情推理与演绎推理
