瑞安中学2014学年第二学期高二期中考试
数学（实验班）试卷
第Ⅰ卷（选择题部分
一、选择题：本大题共的．
1．设全集为R，集合AA．[2,1]2．设
8小题，每小题
共40分）
5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求
x||x|2，B
B．(2,
{x|
1x1
0}，则(CUA)
B
( )
)C．(1,2]
B．若m； D．若m
D．(
，则m//，则）
,2)
）
,m,n为两条不同的直线，
A．若m//,n//，则m//n
C．若m//,
，则m
为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（
,,m//
3．已知a,b4．已知f(x)
R,则“a2
Asin(x
x
b
2
1”是“|a||b|1”的（)(x
）
A．充分不必要条件如图所示，若对任意则|x1
A．
B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
R)的图象的一部分
f(x)
f(x2)，
R,都有f(x1)
x2|的最小值为（
2 B．
C．
2
D．
4
x
5．已知实数变量
yy12
1,0,
且目标函数z
（第4题）
x,y满足
mx
x
3xy的最大值为4，则实数m的值为( )
y10,
．1
3
A． B
2
值为( )
A．1006 B
1
． C2
．2 D
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014
． 1007 C
线C:
． 1008 D
0,S20150，对任意正整数
n，都有|an||ak|，则k的
． 1009
7．设F1,F2分别是双曲
xa
22
yb
2
2
1(a0,b
0)的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线
）
PT平分
1
F1PF2,过原点O作PT的平行线交PF1于点M,若|MP||F1F2|,则C的离心率为（
3
A．
32
B． 3 C．
2 D．c
2
3
8．已知实数a,b,c满足
A．(
14
a
2
1
,4]
B
4
．[4,4] C
b
2
1，则ab2bc2ca的取值范围是( )
．[2,4] D
．[1,4]
第Ⅱ卷（非选择题部分
二、填空题：本大题共9．若指数函数_____________. 10．已知圆C:x
2
共110分）
_____________；不等式
7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．
f(x)的图像过点
2
(2,4)，则f(3)
2
f(x)f(x)
52
的解集为
y2ax4ay5a25
0的圆心在直线l1:x
y2
0上，则a
；圆
C被
直线l2:3x4y50截得的弦长为____________.
；外接球的体积为
3
11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，
]
．
在斐波那契数列{an}中，
a11,a21,an
2
an
1
an(nN),a7
*
____________；
若a2017
m，则数列{an}的前2015项和是________________（用m表示）．
2
正视图
侧视图
x,x
3
0
2
113．已知函数
f(x)
x
1
，若关于x的方程f(x
x
3围是________________．14. 定义：曲线
C上的点到点P的距离的最小值称为曲线
P(a,a)的距离为
322
，则实数a的值为___________．
15．设锐角
的面积为2，边AB,AC的中点分别为uuuruuuurABCu则MBMC
BCuur2
的最小值为_____________．
2x
2
)m有4个不同的实数根，则
的取值范
3
m俯视图
C到点P的距离。已知曲线
（第11题）C:y
1
x
(x0)到点
,E，M为线段DE上的动点，
D瑞安中学2014学年第二学期高二期中考试
数学（实验班）答案
一、选择题：本大题共的．
B D B C D C A C二、填空题：本大题共9.
8小题，每小题
5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求
7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．2；8 11. 4；
1
；(1,1) 10.
32 12
．13；m1 13.
(1,
1)(0,) 14．
1或
2683
8
15．23
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
]
16．（Ⅰ）由sinCsin(BA)2sin2A,得sin(BA)sin(BA)22sinAcosA.
即2sinBcosA22sinAcosA.
因为cosA
0,所以sinB
2sinA.
……………3分由正弦定理，得b2a.
故A必为锐角。……………4分
又
0sinB1,所以0sinA22
.
……………6分因此角
A的取值范围为(0,
4
].
……………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a1得b
2.
又因为S3114,所以
21
2sinC
314
.
从而sinC62
4
.因为
C为钝角，故C
712.……………11分
由余弦定理，得c2
12
21
2cos
72
12
1221
2(
64
)23.
故c
62
2
.
……………13分
2
由正弦定理，得
sinA
asinC1
641c
62
2.
2
因此A
6
.
……………15分
17. （Ⅰ）在PBC中，PB
2,PC4,BPC
60,由余弦定理，得
BC23.
经计算，得AC25,AB
22.所以AB
2
BC2
AC2
，故BC
AB.
因为PA平面PBC，所以PA
BC.又因为PAABA，所以BC
…………4分
又因为
BC
平面
ABC，故平面PAB
平面
ABC.
…………… 6分
2
平面
2
.
PABAB的中点F，连结PF.
因为PAPB,所以PFAB.又因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PF平面PAB, 所以PF平面ABC。过F作FGEC于G,连PG,则于是PGF是二面角PECB的平面E A 因此，…………… 10分PGF30.
（Ⅱ）方法1 取又PF由即x
P
G
F
B
C 角，
ECPG.
2,所以FG
FGBC
6.设BEEFEC
x(x22)，
EFG~ECB得
2
.因此，
623
xx
2
212
。
z
P
y
42x80.解得x224.所以BE224.…………… 15分
方法2 建立如图的空间直角坐标系。则C(0,23,0)，P(2,0,设BE所
2).
以
x E
A
B（O）
C
t(t22).则E(t,0,0).
(t,23,0).
ur
平面ECB的法向量为n(0,0,1).1
uur
设n2(x,y,z)为平面PEC的法向量，则
2x23ytxuur可取n2
23y(2,
662z0,t,t
2).0,
uuurCPuuur
(2,23,2),CE
…………… 10分
uruur
因为cosn1,n2
得
ur
n1ur|n1|uurn2uur|n2|3.2
22
3，2
t122t6
2
2(t
2)
2
即t
42t80.解得t
所以BE224.
18．（Ⅰ）因为焦距为因此2a于是b
4.
…………… 15分
22，所以2c22,c2.
…………… 2分
由椭圆的对称性及已知得
|F1A||F2B|.又因为|F1A|
x
2
|F1B|4,所以|F2B||F1B|4.
4,a2.
y
2
…………… 4分
42（Ⅱ）设B(x0,y0),P(x1,y1)，则A(x0,y0).
直线
2.因此椭圆C的方程为
1.
…………… 6分
PA的方程为y
y1
y1x1
y0x0
(x
x1)，令x
0，得y
x1y0
x1
x0y1x0
,
故M(0,
x1y0
x0y1x).1
x0同理可得N(0,x1y0
x0y1x).
…………… 9分
1
x0所以kx1y0x0y1
，x1y0x0y11
2(xxk2
1
0)
2(x1
x0).
2222因此
k1x1
y0x0y
11k2
2x21
x
2.0
因为A,B在椭圆C上，所以y2
1
212x2,y
21
0
2
12
x2
0
.
x2(2
12121
0
(22x1
)
故k1k122
x20
)x2
x
21
x
21.
…………… 12分0
所以
|k1k2||k1||k2|2|k1||k2|
2.
…………… 14分
又因为当k1k2时M,N重合，即A,B重合，这与条件不符，所以
k1k2.
因此k1
k2的取值范围是(
,2)(2,
).
…………… 15分
19. （Ⅰ）由an1
2an2n1①
得an
2an12n1(n2)
②
①—②得an1
an2(an
an1)
2.
即bn
2bn
1
2.…………… 3分
因此，bn2
2(bn1
2).
由①，及a11得a25，于是b14.
因此，{bn2}是以b126为首项，2为公比的等比数列，……………
6分
所以bn
2
62
n1
,即bn
62
n1
2.…………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
11
bn1
因为
1*)，所以对任意正整数nn
622.b0(n
Nn…………… 9分
因为
11
1
1
bn1
n1
n1
n
62
2
522252n1
(n2).……………11分
所以当
n2时，S11L
1111n
bL
11
b2
bn
4
5(12
2
2
2
n1
)
1112(112
n1)1194
5114
5
20
.
…………… 14分
2
当
n1时，显然有S91
20
.综上，对任意正整数
n，均有
194
Sn
20.
…………… 15分
Sn
S11
b1
14
.
，20．（Ⅰ）若a1
12
，即a
12
，
当x
[12,1
2]时，f(x)x
2
x1a(x
12
)
2
a
34
，
f(x)在[11
2,2]上递增；
…………… 2分
若a113
2，即a
2当x[12,1
2]时，f(x)
x
2
x1a(x
12
)
2
a
54
，
f(x)在[12,1
2
]上递减；
…………… 4分
若
112
a1
2
，即
12
a
32
，
(x
1
2
a
5f(x)
2)
4(
12
xa1),(x
12
32
)a4(a1
x
12
),
f(x)在[12,a1]上递减，在[a1,1
2
]上递增. …………… 6分
（Ⅱ）先求使不等式f(x)2|xa|对xR恒成立的a的取值范围.
（1）当xa1时，不等式化为x
2
x1a
2(ax),即x
2
x1a，(x
152
)
2
4
a.
若a1112
，即a2，则a54
矛盾.
若a
1112
，即a
2
2
，则a
(a1)(a1)1,即a
2
2a10,解得a12或
a1
2.所以a12.
…………… 8分
（2）当a1xa时，不等式化为x2
x1a2(ax),即x
2
3x13a，(x
32
)
2
54
3a.
若
a1
3a即
35312
2
a
1
2
，3a,a5
412
.结合条件，得2
a
2
.若a13即a
12
2
，3a
(a1)2
3(a1)1,即a
2
2a10,解得a1
2或
a
1
2.结合条件及（1），得12
a1
2.
若a
32
，3a
a2
3a1恒成立.
综合得a1
2.
…………… 10分
（3）当x
a时，不等式化为
x
2
x1a2(xa),即x
2
x1a，(x
12
)
2
34
a.得a
a
334
.结合（2）得
4
a12.…………… 12分
34
,即
所以，使不等式
f(x)2|xa|对1
xR恒成立的a的取值范围是
34.
34
a12.
本题所求的a的取值范围是a2或a
…………… 14分
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