V?x??V0???????m?Vmcosx，
2b22bm?1bm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx 其中Vm?2b?02bb?02b第一个禁带宽度
m?2Eg1?2V1?bEg2m?2?2V2?b?2b0m?16m?22(b?x)cosxdx?b 32b?22?2b0m?2m?22(b?x)cosxdx?b
b?22210. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k都存在一个与之简并的状态-k，为什么只在
n?附近才用简并微扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢? a提示：由书中第3章式（3-81）～（3-83）知，两个k之间必须满足k??k?数）才会对微扰有贡献。
11. 能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N有无关系? 提示：波函数之间的互作用越强，能带展宽越厉害，与N无关。 12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，是吗?
提示：不一定。对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维以上则不然，可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。
13. 已知一维晶体的电子能带可写成
2?n（n为整aE?k??1?7??coska?cos2ka??
ma2?88?2其中a是晶格常数，试求
(a) 能带的宽度；
(b) 电子在波矢k的状态时的速度； (c) 能带底部和顶部电子的有效质量。 解：（a）首先求能量最大值和最小值 由
dEc(k)n??0 得到 k? dkan为偶数时，E?Emin?0 n为奇数时，E?Emax所以能带宽度为
2?2? 2ma ?E?Emax?Emin（b）速度v?2?2 ?2ma1dE(k)1?sinka(1?coska) dkma2?2m(c) 有效质量 m??2?
1dEcoska?cos2ka22dk?，l为整数，代入上式得m?底?0 a?（2l?1），l为整数，代入上式得m?顶?0 导带顶k?a导带底k?2l14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的S态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带为
kyakya?kxaka?kakaE?k??E0?A?4J?coscos?coscosz?coszcosx?，
222222??并求能带底部电子的有效质量。
解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为
aaaa（?,,0),（?,?,0)2222aaaa（?,0,),（?,0,?)
2222aaaa（0,,?),（0,?,?)2222紧束缚方法得到的能量式为
E(k)??i?J0?J1Rs=nearest?e?ik?Rs
将12个最邻近格点的位置坐标代入上式，并整理得到面心立方s态原子能级相对应的能带。
kyakyakxakxakzakaE(k)??i?J0?4J1(coscos?coscos?coscosz)
22222215. 紧束缚方法导出体心立方晶体S态电子的能带
kya?kxaka?E?k??E0?A?8J?coscoscosz?
222??试画出沿kx方向(ky?kz?0)，E?kx?和v?kx?的曲线。
解：求解方法类似13题。首先写出任意格点为原点其最近邻的8个格点的位置坐标，并代
入紧束缚方法得到的能量式，即可得到本题给出的能量表示式。 沿kx方向（ky=kz=0），有 能量 E?kx??E0?A?8Jcoskxa， 2其中，最大值为Emax?E0?A?8J，最小值Emin?E0?A?8J 。图略 速度 v?k??ka1?E4Ja()?sinx。图略 ?kx216.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？ 略。请参考本书第3章3.3.3节的内容。
第四章
1. 从能带论出发，简述半导体能带的基本特征，利用能带论分析讨论为什么金属和半导体
电导率具有不同的温度依赖性。
提示：半导体的能带结构决定了半导体中有两种载流子参与导电，且浓度与温度有关，温度对电导率的影响涉及到载流子浓度和散射两方面。金属只有电子对导电有贡献，且不受温度影响。温度主要影响晶格振动对电子的散射。
2. 从能带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？为什么？
略。参考本书3.4.2节的内容。
3. 为什么半导体满带中少量空状态可以用具有正电菏和一定质量的空穴来描述？金属中
是否也会有空穴存在？
略。
4. 当E-EF 分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结
果进行讨论。
解：电子的费米分布 fF?D?E??11?eE?EFk0T，玻尔兹曼近似为fM?B?E??e?E?EFk0T
（1）E-EF=kT时 fF?D?E??1?0.26894 ，fM?B?E??e?1=0.36788 1?e1?4?0.01799 ，fE?e?0.01832 ??M?B41?e1?0.00091 ，fM?B?E??e?7?0.00091 71?e（2）E-EF=4kT时 fF?D?E??（3）E-EF=7kT时 fF?D?E??E?EFk0T当e远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计
算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。 5. 设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)
分别为
?2k1?2k2?2?k?k1?3?2k2Ec?k???Ev?k???3mm6mm ，
式中m为电子惯性质量，k1??/a,a?3.14?,试求出：
22（1）禁带宽度
（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；
（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。
?Ec(k)22k2?0 即 解： （1） 令 ??k3m0得到导带底相应的 k?2?k?k1??0
m03k1 4?Ev(k)62k?0 即 令 ?0 ?km0得到价带顶相应的 k?0
故禁带宽度
3??Eg?Ec?k?k1??Ev?k?0?4??k1?3??1??k?k? ?1??1?3m0?4?m0?4?6m0k12?12m0将k1?2222222?a2代入，得到Eg??212m0a2?n
2d2EC3?m0 （2）导带底电子有效质量 m?h/28dk21?2dEV??m0 （3）价带顶空穴有效质量 mp?h/6dk2?3?3h（4）动量变化为 ?p???k1?0??
48a??6. 什么是浅能级杂质？什么是深能级杂质？将它们掺入半导体材料中各自起什么作用？
举例说明。
略。
7. 试证明半导体中当
?n??p且电子浓度
n?ni?p?n;空穴浓度
p?ni?n?p时，
材料的电导率?最小，并求?min的表达式。试问当n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出n0和p0。已知
cm2/V?s,?n?3800cm2/V?sni?2.5?1013/cm3,?p?1900 ni2解：（1）??n0q?n?p0q?p?n0q?n?q?p
n0ni2d??ni?n/?p 由?0 得 n?ni?p/?n，p?ndn0d2?又?0， 2dn0ni2?ni?n/?p时，???min?2niq?n?p 所以当n?ni?p/?n，p?n（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有：
ni2 n0q?n?q?p?niq(?n??p)
n0即 n0解得： n0?2?n?n0ni(?n??p)?ni2?p?0
ni(?n??p)?[ni2(?n??p)2?4?n?pni2]2?nni(3?1) 4nin(3?1)?i?1.25?1013/cm3 422计算得： n0??n0?ni?n0?n p0?i?5?1013/cm3
n0故，n0?1.25?1013/cm3，p0?5.0?1013/cm3时，该晶体的电导率等于本征电导率。 8. 何谓简并半导体？在简并半导体中杂质能带将发生怎样的变化，何故？ 略。 9. 半导体Si、Ge和GaAs ，哪一种最适合制作高温器件，为什么？
提示：从禁带宽度大小出发，分析进入本征激发的温度极限。
10. 在杂质半导体中，对载流子的散射机构主要有哪两种？它们对温度的依赖特性有何不
同，为什么？ 略。
11. 为什么在高掺杂情况下，载流子的迁移率随温度的变化是比较小的，而且在低温区其温
《电子工程物理基础》课后习题解答教程
