所以实数a的值为
1. 2（2）①因为函数f(x)在定义域上有两个极值点x1,x2，且x1?x2， 所以f?(x)?2x?2(a?3)?22a?0在(0,??)上有两个根x1,x2，且x1?x2， x即2x?2(a?3)x?2a?0在(0,??)上有两个不相等的根x1,x2.
?2(a?3)??2?2?0,?2所以???4(a?3)?16?0,解得0?a?1.
?2a?0,??2当0?a?1时，若0?x?x1或x?x2，2x?2(a?3)x?2a?0，f?(x)?0，函数f(x)在?0,x1?和
?x1,???上单调递增；若x1?x?x2，2x2?2(a?3)x?2a?0，f?(x)?0，函数f(x)在?x1,x2?上单调
递减，故函数f(x)在(0,??)上有两个极值点x1,x2，且x1?x2. 所以，实数a的取值范围是0?a?1.
②由①可知，x1,x2?0?x1?x2?是方程2x2?2(a?3)x?2a?0的两个不等的实根，
?x1?x2?3?a,所以?其中0?a?1.
xx?a,?12故f?x1??f?x2??x1?2(a?3)x1?2alnx1?x2?2(a?3)x2?2alnx2
22??x1?x2??2x1x2?2(a?3)?x1?x2??2alnx1x2
?(3?a)2?2a?2(a?3)(3?a)?2alna?2alna?a2?4a?9，
令g(a)?2alna?a?4a?9，其中0?a?1.故g?(a)?2lna?2a?6，
22令h(a)?g?(a)?2lna?2a?6，h?(a)?由于he2?2?0，h(a)?g?(a)在(0,1)上单调递增. a????2e?3?3?0，h(1)?4?0，
所以存在常数t?e,1，使得h(t)?0，即lnt?t?3?0，lnt?t?3， 且当a?(0,t)时，h(a)?g?(a)?0，g(a)在(0,t)上单调递减； 当a?(t,1)时，h(a)?g?(a)?0，g(a)在(t,1)上单调递增，
所以当0?a?1时，g(a)g(t)?2tlnt?t?4t?9?2t(t?3)?t?4t?9?t?2t?9，
22又t?e,1，t?2t?9?(t?1)?10??10，
222??3???3?所以g(a)??10，即g(a)?10?0，
故f?x1??f?x2??10?0得证. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
18．已知点A为圆C：?x?1??y2?1上的动点，O为坐标原点，过P?0,4?作直线OA的垂线（当A、
2，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. O重合时，直线OA约定为y轴）（1）求点M的轨迹的极坐标方程；
OA????sin???4（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求??OB3??【答案】（1）??4sin?；（2）【解析】 【分析】
（1）设M的极坐标为??,??，在OPM中，有??4sin?，即可得结果； （2）设射线OA：???，????的最大值.
2?3 8????,?，圆C的极坐标方程为??2cos?，联立两个方程，可求出OA，22???????sin??OA1??3?????4?sin2???OB3联立?可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得????OB4?3?8?????最值. 【详解】
（1）设M的极坐标为??,??，在OPM中，有??4sin?，
?点M的轨迹的极坐标方程为??4sin?；
（2）设射线OA：???，????????,?，圆C的极坐标方程为??2cos?， ?22?由????2cos?得：OA??1?2cos?，
???????4??sin??OB??2?????4??， 3?由?得：??sin?????3???????OA?OB2cos?4 ???sin????3???1???cos??sin???? 23??1????cos?sin?sin?cos?cos?sin? 233????13sin?cos??cos2? 4413?sin2???cos2??1? 881???3， ?sin?2????4?3?8????????,?
22????2??4??2???， 333?OA?2?3??当2???，即??时，?， ???OB81232??max????OAOB的最大值为2?3. 8【点睛】
本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题. 19．设数列?an?的前列项和为Sn，已知a1?1,an?（1）求数列?an?的通项公式； （2）求证：
an?1(n?2).
2?an?13111?n?Sn?. 2261（2）证明见解析 2n?1【答案】（1）an?【解析】 【分析】
（1）由已知可得
12??1，构造等比数列即可求出通项公式； anan?1（2）当n?2时，由an?1121131??Sa??S?n?N*，，可求，时，由，可证n?3nnnnnnn?1222226??验证n?1,2时，不等式也成立，即可得证. 【详解】 （1）由an?an?112?1， (n?2)可得，?anan?12?an?1即
?1?1?1?2??1?，(n?2) an?an?1?1?1?2n， 所以an解得an?1， 2n?1（2）当n?1时，S1?a1?1，
?Sn?1,
当n?2时，an?1， 2nSn?1?11?3?22211?n?1131?n?1?42??n
12221?2综上Sn?31?n?n?N*?， 22由an?0可得?Sn?递增，
121a1?1,a2?，n?3时an?n?n?1
322111?Sn?1??2?3?32211?1442n41111111?n?1?????n?1??n?1?； 231?13226262所以S1?S2?S3?11， 6综上：Sn?11n?N*? ?6故
3111?n?Sn??n?N*?. 226【点睛】
本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题. 20．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
1110表中wi?2，w??wi.
10i?1x1（1）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据?u1,v1?，?u2,v2?，?u3,v3?，…，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截距的最
d哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数xx2小二乘估计分别为????v?v??u?u?iii?1n??u?u?ii?1n2，??v??u.
【答案】（1）y?c?【解析】 【分析】
d20y?5?2更适宜（）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气
x2x2（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
天津市大港区2021届新高考数学三模考试卷含解析
