无穷级数
内容概要和重难点提示
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p?级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理。幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。对数一，要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式。 考试要求
1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p?级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法、比较判别法的极限形式 和比值判别法。
3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，
了解交错级数的莱布尼茨判别法。
4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐
项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6．了解函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式（牢记5个公式）。
难点 判断数项级数的敛散性 剖析级数与数列的关系 求和函数 理解狄利克雷
定理
考试知识要点讲解
一、 常数项级数的概念与基本性质 （一） 基本概念
1、 设有数列?un?:u1,u2,...,un,...，将它们依次相加 u1?u2?...?un?...
称为由数列?un?构成的无穷级数，记为?un。
n?1?2、 若u1?u2?...?un?...?s（定数），则称级数?un收敛，且收敛于总和s；
n?1?若u1?u2?...?un?...??（或者不定），则称级数?un发散。（通俗的定
n?1?义）
3、 令u1?u2?...?un?sn，称sn为级数前n项部分和。显然数列?un?与 ?sn?有：
sn?u1?u2?...?un ? un?sn?sn?1。
2?、若limsn?s，则称级数?un收敛，且收敛于总和s，反之就是发散。收
n??n?1?敛时
rn?s?sn?un?1?un?2?...称为级数的余项（仍为级数）。 （二）基本性质
1、若?un,n?1??vn?1?n都收敛，对于任何常数?,?，则?(?un??vn)也收敛，
n?1?且
?(?un?1?n??vn)???un???vn；
n?1n?1??2、在级数中添加或者去掉或者改变有限项，不改变其敛散性；
3、 收敛的级数任意加括号后所得到的新级数仍收敛，且和不变； 4、
（收敛的必要条件）?un收敛?limun?0，反之不成立。
n?1?n??注：（1）敛散性和其它性质一样都有：Y?Y?Y,Y?N?N,N?N??； （2）性质3的逆和否命题不成立(但是任何命题原命题成立，则逆否命题必成立；
（3）?un收敛?limsn?s，?un收敛?limun?0，（不能用limun?0n?1??n??n?1n??n??得出级数收敛，但是若limun?0则必发散）。
n??（4）几个重要的级数敛散性结论 几何级数?aqn?1，当q?1时收敛于
n?1??a，当q?1时发散； 1?q?11 p?级数?p当p?1时收敛，当p?1时发散，（p?1时即?叫做
n?1nn?1n调和级数）。推广得 散； 级数?Pk(n)当m?k?1时收敛，当m?k?1时发?Q(n)n?1m?1，当p?1时收敛，当p?1时发散。（您会证明、会应pn?1nlnn?用吗？）。
大家回忆一下，高数在哪里还介绍过收敛的概念？ 例题1判定下列级数的敛散性：
?1(n?3)n（1）（?(n?2?2n?1?n)）；（2）?n；（3）?3。 2nn?1n?1n?12n?n?2??二、常数项级数敛散性的判定
（一）正项级数
定义1：若在?un中un?0，则称此级数为正项级数（若un?0呢？）
n?1?由于正项级数中，sn?u1?u2?...?un?sn?1?un?sn?1，即?sn?单增，由单调有界数列必收敛，知 1、
比较审敛法
若un?vn（n?1,2,...），且?vn收敛，则?un也收敛；
n?1?n?1????un?1?n收敛??sn?有界，采用此结论可以得到：
若un?vn（n?1,2,...），且?vn发散，则?un也发散。
n?1n?1注：（1）定理告诉我们，要想判断出?un收敛，必须找收敛的“哥哥”
n?1??vn?1?n，“哥哥”收敛则“弟弟”收敛，同样“弟弟”发散则“哥哥”
发散；
（2）定理可改为：若un?cvn（n?k,k?1,...），（其中c?0,k?Z?）且
?vn?1?n 收敛，则?un也收敛；另一个结论可同理给出。
n?1?2、比较审敛法的极限形式
??un 若lim??，则（1）当0?????时，?un与?vn同敛散；
n??vn?1n?1n??（2）当??0时，若?vn收敛，则?un也收敛；
n?1?n?1?（3）当????时，若?vn发散，则?un也发散。
n?1n?1 3、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
?un?1??，则（1）当??1时，?un收敛； 若limn??un?1n?（2）当??1时，?un发散，（3）当??1时，此法失效。
n?14、根值审敛法（柯西判别法）
若limun??，则（1）当??1时，?un收敛；
nn??n?1?（2）当??1时，?un发散，（3）当??1时，此法失效。
n?1? （5）积分审敛法 设f(x)为定义于?1,???单减的非负的连续函数，则
?n?1?f(n)与???1f(x)dx具有相同的敛散性。
注：1、以上5个定理只适用于正项级数；2、 方法 优点 缺点 选择的原则 比较法 简单明了 要找参照级数，且明确大小vn从几何或者关系 p?级数中找。比较法的极限形比较简单明了 式 要找参照级数，且明确等价关系（见推论） vn从几何或者 p?级数中找。比值审敛法 无需找参照级不完备（??1方法失效） 数 无需找参照级不完备（??1方法失效） 数 un为含阶乘或次幂的分式。 根值审敛法 un为含阶乘或次幂的分式。 3、（比较法的极限形式）推论：若un~vn知必发散），则?un与?vn同敛散。
n?1n?1??(n??)（若不为无穷小由必要条件
（二）交错级数
定义2：若在?un中un是正负交错出现的，则称此级数为交错级数，常表示
n?1?为?(?1)n?1un，规定un?0
n?1?莱布尼兹审敛法 若交错级数?(?1)n?1un满足：（1）un?un?1（从n某项开始）；
n?1?（2）则?(?1)n?1un收敛，且和大于零而小于u1，余项rn?1?un?1。 limun?0，
n??n?1?注：1、第一条不满足和第二条不满足结论会怎样？
2、判别un的单调性常用到导数符号。 （三） 任意项级数
定义3：若在?un中un是正负无序的，则称此级数为任意项级数（或一般
n?1?项级数）。
定理：若正项级数?un收敛，则?un也收敛。
n?1n?1??注：（1）定理的逆否命题为?un发散，则?un必发散；（2）定理的逆和否命
n?1n?1??题都不成立，即“若正项级数?un发散，则?un也发散”和“?un收敛，则
n?1n?1n?1????un?1?n必收敛”都是错误的。于是产生了绝对收敛和条件收敛的定义：
???若?un收敛，且?un收敛，则称它的收敛为绝对收敛；若?un收敛，
n?1n?1n?1但?un发散，则称它的收敛为条件收敛。
n?1?可见，任意项级数没有自己的审敛法，但却有3种状态，即绝对收敛、条件收敛和发散三种状态。
判别任意项级数敛散性的方法
先判断?un收敛否？
n?1??先判断?un收敛否？
n?1
第十二章---无穷级数
