1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪
第一课时
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
n0n1n（1）(a?b)?Cna?Cnab?n1（2）(1?x)?1?Cnx?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，
rr?Cnx??xn.
rn?rr2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数
表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：
012nr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成
以r为自变量的函数f(r) 定义域是{0,1,2,,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
mn?m（∵Cn?Cn）．
直线r?n是图象的对称轴． 2k（2）增减性与最大值．∵Cn?n(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1， ?Cn?k!k1 / 111
∴Cn相对于Cn的增减情况由当k?kk?1n?k?1n?k?1n?1决定，， ?1?k?kk2n?1时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间2n2nn?12n取得最大值；
当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C值．
（3）各二项式系数和：
n1∵(1?x)?1?Cnx?rr?Cnx?，Cn?12n取得最大
?xn，
r?Cn?n?Cn n012令x?1，则2?Cn?Cn?Cn?三、讲解范例：
例1．在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 nn0n1n证明：在展开式(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)中，令
0123?Cn?Cn?Cn?a?1,b??1，则(1?1)n?Cn02即0?(Cn?Cn?02∴Cn?Cn?13)?(Cn?Cn?n?(?1)nCn，
)，
13?Cn?Cn?，
即在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
02说明：由性质（3）及例1知Cn?Cn?72例2．已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?n13?Cn?Cn??2n?1.
?a7x7，求：
（1）a1?a2??a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|?77?|a7|.
解：（1）当x?1时，(1?2x)?(1?2)??1，展开式右边为
a0?a1?a2?∴a0?a1?a2??a7
?a7??1，
?a7??1?1??2， ?a7??1 ①
当x?0时，a0?1，∴a1?a2?（2）令x?1， a0?a1?a2?7令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?3 ②
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1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.
27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，
7∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?3，
?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，
2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7
?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 (1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??
1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，
x∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347
第二课时
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杨辉三角与二项式系数的性质(教案)
