课题：等比数列的前n项和
教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能
运用公式解决一些简单问题；
（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透
方程思想、分类讨论思想；
（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；
（2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问
回顾等比数列定义，通项公式。
an（1）等比数列定义：a?qn?1（n?2，q?0)
（2）等比数列通项公式：
an?a?11qn(a1,q?0)
（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入：
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。
问题:如何计算 S 64 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? L ? 263 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨：
问题：如何求等比数列?an?的前n项和公式
Sn?a1?a2?a3?L?an
?a21?a1q?a1q?L?an?2?11q?a1qn
回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。
等差数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是Sn?a1?a2?a3??an
1
根据等差数列的定义an?1?an?d
Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?LL??a1?（n-1)d? （1）
Sn?an?(an?d)?(an?2d)?LL??an-（n-1)d? （2）
（1）+（2）得：2Sn?n(a1?an) Sn(a1?an)n?2 探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？
Sn?a1?a2?a3?L?an
?a1?a1q?a1q2?L?an?21q?a?11qn
Snn?an?anq?anaanq2?L?qn?2?qn?1 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。
探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？
根据等比数列的定义：
an?1a?（qn?N?) n 变形：anq?an?1
具体：a1q?a2 a2q?a3 a3q?a4 …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
Sn?21n?a1?a1q?a1q2?L?a1q?a1qn? （1）
qSn?a1q?a21q?a1q3?L?an1qn?1?a1q （2）
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
2
?(1)?(2)得：(1?q)Sn?a1?a1qn
当q=1时，Sn?na1
a1(1?qn)当q?1时，Sn?
1?q学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：
当q?1时， Sa1?anqn?1?q
四.知识整合:
1．等比数列的前n项和公式：
当q=1时，Sn?na1
当q?1时，Sa1(1?qn)a1?anqn?1?q ?1?q
2．公式特征：
⑴等比数列求和时，应考虑q?1 与q?1 两种情况。
⑵当q?1时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，a1,q,n,an,Sn，
五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。
五、例题精讲：
例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.
例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，
3
依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？
⑵若已知所画正方形的面积和为31，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的4面积。
解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且a1?4q?12 （1）Qn?7 ?a7?a11?q6?16 ?n?1?a?1??n?4 （2）?aa?1?n?1qn??2??????n??1?n?5???San1?1?q???4??1??1 n?1?q??31?????2???????an?4?41??1?2答：（1）第七个正方形的面积是116cm2。
（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是14
cm2
。
巩固练习：⑴已知等比数列?an?中，a1??1，q??2,求S6。
⑵已知等比数列?an?中，a1?1，q?3,Sn?40，求n，an。
六、课堂小结：
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时，Sn?na1
当q?1时，Sa1(1?qn)a?anqn??q ?111?q
2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。 3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。
七、课后作业：
基础题：课本P61 习题2.5 A组1，2 提高题：求和（(1?a)?(2?a2)?L?(2n?1?an)
探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？
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八、板书设计： 2.5.1等比数列的前n项和 公式： 例1 例2 特征 变式练习： 巩固练习：
九、课后反思：
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江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章《数列》等比数列的前n项和教案 新人教版必修5
