培养思维的高度训练敏锐的观察
观察一一归纳一猜想一一找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论
的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1） 通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2） 猜想符合规律的一般性结论；
（3） 验证或证明结论是否正确，下面通过举例来说明这些问题 ?
?解题
一、数字类
基本技巧
（一）标出序列号： 例如，观察下列各式数： 0, 3, 8,15, 24,……。 我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0, 3 , 8, 15 , 24 ,……。 序列号： 1 , 2, 3,
4, 5,……。
2
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减
1。因此，第n项是n -1
2
（二）公因式法： 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n,或2n、3n有关。 例如：1 , 9, 25, 49, （81）, （121）,的第 n 项为（（2 n 一1））,
1 , 2 , 3 , 4 , 5.。。。。。。,从中可以看出 n=2时，正好是2X 2-1的平方，n=3时，正好是2X 3-1的平方，以 此类推。
（三）增副
A: 2、9、28、65??…增幅是7、19、37....,增幅的增幅是 12、18
3
答案与3有关且是n的3次幕，即: n +1
B : 2、4、8、16.......增幅是2、4、8 .......... 答案与2的乘方有关即：
丫
（四） 有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一） 、（二）、（三）技
巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……,
序列号：1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当 n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3, 3*3-1=8 ,
2 2
以此类推，得到第 n个数为n -1。再看原数列是同时减 2得到的新数列，则在 n -1的基础上加2，得 到原数列第n项n 1
（五） 有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并 恢复到原来。
例：4, 16, 36, 64,?, 144, 196,…？（第一百个数）
同除以4后可得新数列: 1、 4、 9、 ，很显然是位置数的平方，得到新数列第 n项即n ，原数列
16… 2
是同除以 4得到的新数列， 所以求出新数列 n的公式后再乘以 4 即, 4 n ，则求出第一百个数为 4*100 =40000 （一）等差数列
2
2
例题：2, 5, 8,( )°
例题 5: 12, 15, 18, (),24, 27°
1
培养思维的高度训练敏锐的观察 A.20 B.21 C.22 D.23 （二）等比数列 例题 1: 2, 1, 1/2,()。 A.0
B.1/4
C.1/8
D.-1
例题 2: 2, 8, 32, 128,()。 (三)平方数列
1、 完全平方数列： 正序：1 , 4, 9, 16, 25 逆序：100, 81, 64, 49, 36 2、 一个数的平方是第二个数。 1) 直接得出：2, 4, 16, ( 256 )
解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为 2) 一个数的平方加减一个数等于第二个数：
1 , 2, 5, 26, (677)前一个数的平方加 1等于第二个数，答案为 677。 3、 隐含完全平方数列：
1) 通过加减一个常数归成完全平方数列： 0, 3, 8, 15, 24, ( 35 )
前一个数加1分别得到1, 4, 9, 16, 25,分别为1 , 2, 3, 4, 5的平方，答案35 2) 相隔加减，得到一个平方数列： 例：65, 35, 17, ( 3 ), 1 A.15
B.13
C.9
D.3
65等于8的平方加1, 35等于6的平 1,偶位置数时都是减 1,所以下一个数
256。
解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是： 方减1 , 17等于4的平方加1,再观察时发现：奇位置数时都是加 应该是2的平方减1等于3,答案是D。 * (四)立方数列
立方数列与平方数列类似。 例题 1： 1 , 8, 27 , 64 , ( 125 ) 解析：数列中前四项为
1 , 2 , 3 , 4的立方，显然答案为 5的立方，为125。
例题 2： 0 , 7 , 26 , 63 , ( 124 )
解析：前四项分别为 1 , 2 , 3 , 4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。 (五)、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数： 例题 1： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , ( 8 )。
A8 B7
C9
D10
n1+n2=n3
解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于 第五项，按此规律 3 +5=8答案为A。
例题 2： 4 , 5 , ( 9 ) , 14 , 23 , 37 A 6 B 7 C 8 D 9
解析：与例一相同答案为 A 162
D
例题 3： 22 , 35 , 56 , 90 , ( 145 ) 99 年考题
B 156 C 148 D 145
解析：22 +35-仁56 , 35+ 56-仁90 , 56+ 90-仁 145 ,答案为 D (六) 、减法数列
前两个数的差等于后面第三个数： n1-n 2=n3 例题 1： 6 , 3 , 3 , ( 0 ) , 3 , -3
A 0
B 1 C 2 D 3
空缺项在中间，从两边找规律 ”)
解析：6-3=3 , 3-3=0 , 3-0=3 , 0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：
2
培养思维的高度训练敏锐的观察
(七) 、乘法数列
1、前两个数的乘积等于第三个数 例> 1: 1 , 2, 2, 4, 8, 32, ( 256) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是 例题 2： 2，12，36，80，( A.100
B.125
C.150
256。
) (2007 年考题) D.175
解析：2X1, 3总，4X9,5X16自然下一项应该为 6X25= 150选C,此题还可以变形为：1
2
2 , 2
3
,
32 4 , 4 2 5…..,以此类推，得出n
E1)
2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。 例题 2： 3/2 , 2/3, 3/4, 1/3, 3/8 ( A ) (99 年海关考题) A 1/6
B 2/9
C 4/3 D 4/9
解析：3/2 >2/3=1 2/3 X/4=1/2 3/4 X3=1/4 1/3 X8=1/8 3/8 X1/16 答案是 A。 (八) 、除法数列
与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式： 1、 两数相除等于第三数。
2、 两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九) 、质数数列
由质数从小到大的排列： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19- (十)、循环数列
几个数按一定的次序循环出现的数列。 例：3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4
以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要 分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
1、二级数列
这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。 例 1 : 2 6 12 20 A.38
B.42
30 C.48
( 42 ) D.56
4, 6, 8, 10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与
30的
解析：后一个数与前个数的差分别为： 差应该是12,所以答案应该是 B。
例 2: 20 22 A.39
B.45
25 30 37 C.48
() D.51
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 应该是11,所以答案应该是 Co
例 3: 2 A.43
5 B.45
11 20 C.47
32
( 47 ) D.49
2, 3, 5, 7这是一个质数数列，因而要选的答案与 37的差
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 32的差应该是15,所以答案应该是 Co
例 4: 4 5 7 A.27
B.31
11 19 C.35
( 35 ) D.41
3, 6, 9, 12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 应该是16,所以答案应该是 C o
例 5: 3
4 7 16
( 43 )
1 , 2, 4, 8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差
3
培养思维的高度训练敏锐的观察
A.23 B.27 C.39 D.43 1, 3, 9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与
16的
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 差应该是27,所以答案应该是 D o
例 6: 32 27 A.14
B.15
23 20 18 C.16
( 17 ) D.17
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 18的差应该是-1，所以答案应该是 D。
-5,-4, -3, -2这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与
例 7: 1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 ) A.20
B.25
C.27
D.28
3, 4，5，3, 4这是一个循环数列，因而要
选的答案与20
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 的差应该是5，所以答案应该是 B。
例 & 1， 3， 7， 15， 31， ( 63 ) A.61
B.62
C.63
D.64
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 31的差应该是32,所以答案应该是 Co
例 9: (69 ), 36, 19, 10, 5, 2 A.77
B.69
C.54
D.48
2，4, 8，16这显然是一个等比数列，因而要 选的答案与
解析：前一个数与后一个数的差分别为： 例 10： 1, 2, 6, 15, 31, ( 56) A.53
B.56
C.62
D.87
3, 5, 9, 17这个数列中前一个数的 2倍减1得后一个数，
后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是 B。
解析：后一个数与前一个数的差分别为： 与31的差应该是25,所以答案应该是 B。
例 11： 1, 3, 18, 216, (5184 ) A.1023
B.1892
C.243
1, 4, 9, 16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案
D.5184
3, 6, 12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与
216
解析：后一个数与前一个数的比值分别为： 例 12： -2 1 7 A.25
16 ( 28 )
43
的比值应该是 24,所以答案应该是 D : 216*24=5184。
B.28 C.3l D.35
3, 6, 9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与
16的
解析：后一个数与前一个数的差值分别为： 差值应该是12,所以答案应该是 B。
例 13： 1 3 A.20
B.21
6
10 C.30
15
() D.25
解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即： 案应该是B。
例 14： 102, 96, 108, 84, 132, ( 36 ) , (228)
1+3=4=22, 6+10=16=42，则15+ ? =36=62呢，答
解析：后项减前项分别得-6, 12, -24 , 48,是一个等比数列，则 48后面的数应为-96, 132-96=36，再看-96 后面应是 96X2=192 , 192+36=228。
二、设计类
1111 1
4
培养思维的高度训练敏锐的观察
【例1】在数学活动中，小明为了求 '
所示的图形。
—+ ■ + ,
(1)请你利用这个几何图形求 ■
'的值(结果用n表示)，设计如图a 1111 1
■的值为 ________ 。
5
初中数学竞赛专项训练 找规律题
