【详解】
(1)因为F?1,0?在圆M:?x?1??y2?8内，所以圆N内切于圆M，
2所以NM?22?NF 即NM?NF?22?MF，
所以点N的轨迹C是以M??1,0?和F?1,0?为焦点，长轴长为22的椭圆， 因为2a?22，c?1，所以b?1，
x2所以点C的轨迹方程为：?y2?1；
2（2）由题意知m?0，可设直线AB的方程为y??1x?n， m?x2?y2?1??2?11?22nx?n2?1?0， 由?消去y，得??2?x?m?2m??y??1x?n?m?1x2因为直线y??x?n与椭圆?y2?1有两个不同的交点，所以
2m???2n2?2?4?0，① m2?2mnm2n?1m2?2,2所以AB中点M?2，?，代入直线方程y?mx?，解得n??222m?m?2m?2?②
由①②解得m??66，或m?， 331?6??6?2?,0U0,令t???，则AB?t?1??????2?m?2?????2t4?2t2?t2?1232，
1且O到直线AB的距离为2， d?t2?1t2?设VAOB的面积为S?t?，
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21111?22?2所以S?t???AB?d?，当且仅当t?时，等号成立， ?2?t???2?22222??所以VAOB面积的最大值为【点睛】
2. 2本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系和面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数f?x???2?x?e?ax
x（1）已知x?2是f?x?的一个极值点，求曲线f?x?在0,f?0?处的切线方程 （2）讨论关于x的方程f?x??alnx只有一个实数根，求a的取值范围. 【答案】（1）e?1x?y?2?0；（2）a??e或a?0
【解析】（1）先根据x?2是f?x?的一个极值点，即f??2??0，解得a?e2，再求得f?0??2，f??0??e?1，写出切线方程.
2???2?
x?2?ex?（2）根据f?x??alnx，将f?x??alnx只有一个实数根，转化为a?只
x?lnxx?2?ex?，转化为两函数图象交点问题求解. ?x?lnx有一个实数根，令h?x?【详解】
xx（1）因为f?x???2?x?e?ax，则f??x???1?x?e?a
因为x?2是f?x?的一个极值点，所以f??2??0，即?1?2?e?a?0，
2所以a?e2，因为f?0??2，f??0??e?1，
2则直线方程为y?2?e?1x，即e?1x?y?2?0； （2）因为f?x??alnx，所以?x?2?e?alnx?ax?0，
x?2??2?所以?x?2?e??a?lnx?x?，设g?x??lnx?x?x?0?，则g??x??x1?1?x?0?， x所以g?x?在?0,1?上是增函数，在?1,???上是减函数，故g?x??g?1???1?0，
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所以a?h?x???x?2?ex?lnxx，所以?h?x???x?1?ex??x?2??lnx?1?x??， 2?lnx?x?设m?x??x?2112?lnx?1，则m??x??1?2??2?x?2??x?1?， xxxx所以m?x?在?0,2?上是减函数，?2,???上是增函数，所以
m?x??m?2??2?ln2?0，
所以当0?x?1时，h??x??0，函数h?x?在?0,1?上是减函数， 当x?1时，h??x??0，函数h?x?在?1,???上是增函数， 因为0?x?1时，h?x??0，h?1???e，h?2??0， 所以，当a??e或a?0时，方程有1个实根. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
??x?2cos?22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,3，曲线C：?（?为参
??y?2sin???数）以原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
??3?. ?cos?????62??（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
11?（Ⅱ）设直线与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值. PAPB【答案】（Ⅰ）点P在直线l上；见解析（Ⅱ）
11??14 PAPB【解析】（Ⅰ）直线l：2?cos???线l的直角坐标方程为3x?y???????3，即3?cos???sin??3，所以直6?3，因为3?0?3?3，所以点P在直线l上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得. 【详解】
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???2?cos??（Ⅰ）直线l：???3，即3?cos???sin??3，
6??所以直线l的直角坐标方程为3x?y?因为3?0?3?3， 所以点P在直线l上；
3，
1?x??t?2?（Ⅱ）直线l的参数方程为?（t为参数），
?y?3?3t?2?x2y2曲线C的普通方程为??1，
24将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得5t2?12t?4?0， 设两根为t1，t2，所以t1?t2??故t1与t2异号，
所以PA?PB?t1?t2?124，t1?t1???0， 55?t1?t2?4， 52?4t1t2?414， 5PA?PB?t1?t2??t1t2?PA?PB11???14. 所以
PAPBPA?PB【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
23．已知a?0,b?0，函数f?x??x?a?2x?b的最小值为1． （1）证明：2a?b?2．
（2）若a?2b?tab恒成立，求实数t的最大值． 【答案】（1）2；（2）
9 2【解析】分析：（1）将f?x??x?a?2x?b转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可． 详解：（Ⅰ）证明：Q?a?b 2第 19 页 共 20 页
???3x?a?b,x??a?bb????b??f?x????x?a?b,?a?x?，显然f?x?在???,??上单调递减，在?,???2?2??2??b?3x?a?b,x??2?上单调递增，
所以f?x?的最小值为f?b?b??a??1，即2a?b?2． ?22??（Ⅱ）因为a?2b?tab恒成立，所以
a?2b?t恒成立， aba?2b121?12?1?2a2b?9???????2a?b???5?+?? abba2?ba?2?ba?22a?2b9时，取得最小值， 3ab299所以t?，即实数t的最大值为．
22当且仅当a?b?点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．
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2020届 四川省泸州市 高三第三次教学质量诊断性考试数学（文）试题（解析版）
