2.3.1 抛物线及其标准方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
?1?1．抛物线的焦点是?－，0?，则其标准方程为( ) ?4?
A．x＝－y C．y＝x
22
B．x＝y D．y＝－x
2
2
p112
【解析】 易知－＝－，∴p＝，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y＝－x.
242
【答案】 D
12
2．抛物线y＝x的准线方程是( )
4A．y＝－1 C．x＝－1
B．y＝－2 D．x＝－2
122
【解析】 ∵y＝x，∴x＝4y.∴准线方程为y＝－1.
4【答案】 A
3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) 【导学号：25650079】 A．y＝8x C．y＝8x或x＝y
2
2
2
B．x＝y D．无法确定
2
2
2
【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y＝2px(p＞0)或x＝122
2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y＝8x或x2＝y，故选C.
【答案】 C
4．若抛物线y＝ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为
( )
A．(－2,0) C．(2,0)或(－2,0)
B．(2,0) D．(4,0)
2
【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为??＝4，解得a＝±8.当a＝8时，
?2?焦点坐标为(2,0)；当a＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.
【答案】 C
?a?
1
5．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为
62
( )
A．－2 C．－4
B．2 D．4
2
x2y2
【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.
2【答案】 D 二、填空题
6．已知圆x＋y－6x－7＝0与抛物线y＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x－3)＋y＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
22
【答案】 2
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．
【解析】 由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y＝8x.
【答案】 y＝8x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号 ) 【解析】 抛物线y＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y＝10x2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
pppp57?5?2
上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y＝10x的焦点为?，0?，
222?2?
?5?过该焦点的直线方程为y＝k?x－?.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，
?2?
此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④ 三、解答题
9．若抛物线y＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
【解】 由抛物线定义，焦点为F?－，0?，则准线为x＝.由题意，设M到准线的距
2?2?
2
?p?
p 2
离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即－(－9)＝10.∴p＝2.
2
故抛物线方程为y＝－4x，
将M(－9，y)代入y＝－4x，解得y＝±6， ∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
10．若动圆M与圆C：(x－2)＋y＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：25650080】
【解】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切． ∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，
2
2
2
22
ppp＝4，
故其方程为y＝8x.
[能力提升]
1．抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )
31A. 2C．1
B.3 2
2
2
2
y2
D.3
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0， 则焦点到渐近线的距离d1＝【答案】 B
2．已知P是抛物线y＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是( )
A.3 C．2
B.5 D.5－1
2
|3×1－0|3
2
＋－
＝2
3|3×1＋0|3
或d2＝＝. 22223＋1
【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为
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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学业分层测评新人教B版选修1_1
