2001年全国高中数学联赛试题讲解
与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
讲解：M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所以Ｍ含有2
２
２
２
２
２
２
个元素．故集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点． 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点． 以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方
体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．
3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）． Ａ．ｋ＝8
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或ｋ＝8
讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 5．若（1＋ｘ＋ｘ）Ａ．3
333
2
1000
知，应选结论Ｄ．
的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ Ｃ．3
999
2000
，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…
＋ａ1998的值为（ ）．
Ｂ．3
666
Ｄ．3
2001
讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法． 取ω＝－（1／2）＋（令ｘ＝1，得 3
1000
／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0．
３２
＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000； ①
令ｘ＝ω，得
0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω＋…＋ａ2000ω； ② 令ｘ＝ω，得
0＝ａ０＋ａ１ω＋ａ２ω＋ａ３ω＋…＋ａ2000ω①＋②＋③得 3
1000
２
４
６
4000
２
２
2000
． ③
＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）．
999
∴ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3，选Ｃ．
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得
则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
6ｘ＋3ｙ＞24， ①
4ｘ＋5ｙ＜22． ②
问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：
解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9． ∵ａ＞24，ｂ＜22，
∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0． ∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ．
／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．
图1
解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ
－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小
值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．
说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15 Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3
（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应
２
足（ ）．
法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］．
准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长． 解法1：由
ρ（0）＝ａ＋ｃ＝1， 得
ａ＝2／3，
ρ（π）＝ａ－ｃ＝1／3， ｃ＝1／3．
从而ｂ＝／3，故2ｂ＝2／3．
2
2
2
2
解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ／ｃ＝1及ｂ＝ａ－ｃ，得ｂ＝／3．从而2ｂ＝2／
3．
说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维令ｚ１＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ２＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）
______________． 特点，而且也不繁．
－ｉ及复数相等的充要条件，得
6（ｃｏｓα－ｃｏｓβ）＝3／2， 6（ｓｉｎα－ｓｉｎβ）＝－1， 即
－12ｓｉｎ（（α＋β）／2）ｓｉｎ（（α－β）／2）＝3／2， 12ｃｏｓ（（α＋β）／2）ｓｉｎ（（α－β）／2）＝－1．
二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2． 由万能公式，得
ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13． 故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ． 说明：本题也可以利用复数的几何意义解．
9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________． 讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．
图2
为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的
面ＢＤＤ１Ｂ１．设
垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１
Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作ＯＨ⊥ＢＤ１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离．在Ｒｔ△ＢＢ１Ｄ１中，ＯＨ等于斜边ＢＤ１上高的一半，即ＯＨ＝
10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ1／2ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏｇ1／2ｘ＜0，从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜211．函数ｙ＝ｘ＋讲解：先平方去掉根号．
2／7
／6．
或ｌｏｇ1／2ｘ＞0．
，或0＜ｘ＜1．
的值域为______________．
由题设得（ｙ－ｘ）＝ｘ－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ－2）／（2ｙ－3）． 由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ－2）／（2ｙ－3）． 解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2． 由于
能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
２
２２２
说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要． （2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．
图3
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种植（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ４种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种，则Ｂ有3
３
2
种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案． Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
种方法，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有Ｐ４×3（3×2×2）＝432种方法．
（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ４种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ４×2×2×2根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案． 说明：本题是一个环形排列问题．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设｛ａｎ｝为等差数列，｛ｂｎ｝为等比数列，且ｂ１＝ａ１，ｂ２＝ａ２，ｂ３＝ａ３（ａ１＜ａ２）．又（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝
＋1，试求｛ａｎ｝的首项与公差．
2
２
２
２
３
３
＝192种方法．
讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题．数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的前三项满足ｂｉ＝ａｉ（ｉ
（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝
＝1，2，3），由此可确定数列｛ａｎ｝的首项ａ１与公差ｄ的关系；由＋1便可求出ａ１和ｄ的值．
设｛ａｎ｝的公差为ｄ，由ａ１＜ａ２，得ｄ＞0． 由ｂ２＝ｂ１ｂ３，得ａ２＝ａ１ａ３．
∴ａ２＝ａ１ａ３（舍去，否则ａ１＝ａ２＝ａ３）， 或ａ２＝－ａ１ａ３．
∴（ａ１＋ｄ）＝－ａ１（ａ１＋2ｄ）， 即2ａ１＋4ａ１ｄ＋ｄ＝0． 解得ｄ＝（－2±
）ａ１．
2
２
2
222
4
2
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2001年全国高中数学联赛试题及答案
