2.2.2-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.→EF＝→OF＋→OE B.→EF＝→OF－→OE C.→EF＝－→OF＋→OE
D.→EF＝－→OF－→OE
解析：∵O，E，F是不共线的任意三点，∴→OE＋→EF＝→OF，由此可以推出→EF＝→OF－→
OE. 答案：B
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A.→AB＝→DC B.→AD＋→AB＝→AC C.→AB－→AD＝→BD D.→AD＋→CB＝0
解析：→AB－→AD＝→
DB，故C项错． 答案：C
3．已知向量a，b，且→AB＝a＋2b，→BC＝－5a＋6b，→
CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D
D．A、C、D
解析：→BD＝→BC＋→CD＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2→AB， ∴→BD与→
AB共线，∴A、B、D三点共线． 答案：A
4．点P满足向量→OP＝2→OA－→
OB，则点P与AB的位置关系是( ) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB延长线上 C．点P在线段AB反向延长线上 D．点P在直线AB外
解析：∵→OP＝2→OA－→OB，∴→OP－→OA＝→OA－→
OB， ∴→AP＝→BA，
∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C. 答案：C
) 1
→3→→
5．已知点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC等于( )
52→A.BC 32→C．－BC
3
3→B.BC 23→D．－BC
2
3→→3→→5→→5→→→→
解析：AC＝AB?AB＝AC.∴AB＝AC＝AC－BC，∴AC＝－BC.
5332答案：D
→→→→
6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC可用OA、→
OB表示为________．
→→→→→→→→→→→解析：OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，∴OC＝2OA－OB. →→
答案：2OA－OB
→→→
7．已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.
3→→→3→→→→→→
解析：如图，AD＝AM，而AB＋AC＝2AD，故AB＋AC＝2×AM＝3AM，∴m＝3.
22答案：3
?1?1
8．若2?x－a?－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
?3?2
7211?1?1
解析：由2?x－a?－(b＋c－3x)＋b＝0，得x－a＋b－c＝0，
2322?3?2411
∴x＝a－b＋c.
2177411答案：a－b＋c
2177
→→→→→
9．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，求MN(用a，b表示)． 解析：如图所示?ABCD中，连接AC交BD于O点， 则O平分AC和BD. →→→1→∵AN＝3NC，∴NC＝AC，
4∴N为OC的中点，
1→1→1→1
又M为BC的中点，∴MN＝BO，∴MN＝BO＝BD＝(b－a)．
2244
→→→1
10．设a，b是两个不共线的非零向量，记OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，那么当实
3
2
数t为何值时，A、B、C三点共线？
→→→1→→→
解析：∵OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AB＝OB－OA＝tb－a，
312→→→1
AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝b－a，
333
→→
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λAC， 12
即tb－a＝λ(b－a)．
33
1t＝λ，??3
由于a，b不共线，∴?2
－1＝－λ.??33
λ＝，??2解得?1
t＝??2.
1
故当t＝时，A、B、C三点共线．
2
[B组 能力提升]
1．给出下列各式：
→→→→→→→①AB＋CA＋BC；②AB－CD＋BD－AC； →→→→→→→③AD－OD＋OA；④NQ－MP＋QP＋MN.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A．4 C．2
→→→→→
解析：①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0； →→→→→→→→
②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝ →→
AD－AD＝0；
→→→→→→→→
③AD－OD＋OA＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0； →→→→→→→→→→
④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0. 答案：A
→→→→
2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得OA＋OB＝λ(OA＋OC)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是( )
3
B．3 D．1
A．1∶2 C．1∶4
B．1∶3 D．1∶6
解析：如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作?
OAGB，以OA，OC为邻边作?OAFC，则OA＋OB＝OG＝2 OD，OA＋OC＝OF→→→→→→→
→→→→→→→
＝2 OE，因为OA＋OB＝λ(OA＋OC)，所以OD＝λOE，所以点D，O，
E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2. 答案：A
→→→→
3．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝________.
→→→→→→→→→→→→
解析：因为BA＝CD， BA＝OA－OB，CD＝OD－OC，所以OD－OC＝OA－OB， →→→→→
OD＝OA－OB＋OC.所以OD＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
4．如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面 →→ABAC→→
内不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，
→||→|AB|ACλ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
→
→AC→→→
解析：设＝AD，＝AE，则AD与AE分别为单位向量，以它们为邻边作?ADFE，则它为
|→|→AB|AC|
→
AB菱形，
→→
ABAC→→→→
∴AF在∠BAC的平分线上，∴AP＝OP－OA＝λ(＋)＝λAF.
→|→AB||AC|→→
∴AP与AF共线．∴点P的轨迹一定过△ABC的内心． 答案：内
→→
5．已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是M，N，设AM＝a， AN＝b，试用a，b表→→示AB，BC.
解析：在平行四边形ABCD中，M，N分别 是边BC，CD的中点，
4
所以→DN＝1→2AB，→BM＝1→2BC.
所以→AN＝→AD＋→DN＝→BC＋1→
2
AB，
→?AM＝→AB＋1→
?
BC→＋1AB→
2
＝b，
2BC，所以
???
→AB＋1→
2BC＝a，
解得→AB＝42→423a－3b，BC＝3b－3
a.
6．在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且→BD＝1→
3BC，
→
CE＝1CA→，AD与BE交于R，证明：RD→＝1AD→
37
.
证明：由A，D，R三点共线，可得→CR＝λ→CD＋(1－λ)→CA＝23λ→CB＋(1－λ)→
CA.
由B，E，R三点共线，
可得→CR＝μ→CB＋(1－μ)→CE＝μ→CB＋1→3(1－μ)CA.
??2?3λ＝μ，7所以所以???
1－λ＝1
3
－μ，
??λ＝6，??μ＝4
7，
所以→CR＝4→1→
7CB＋7CA.
所以→AD＝→CD－→CA＝2→3CB－→
CA，
→RD＝→CD－→CR＝2→?4→3CB－??7CB＋1→7CA???
＝2→1→
21CB－CA ＝1?2→7→?17?一、选择题．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是?3CB－CA?＝→AD.?7
．绿洲荒漠交界带．水土流失严重区．地质灾害易发区．高寒带生态系统解析：选D 相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是( ．气候干旱．乱垦滥伐．过度放牧．破坏植被解析：选A 非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成～题。．这些沙漠化土地主要分布在( ．华南、华东和华北地区．西北、西南和东北地区．西北、东北和华北地区．东北、华北和西南地区．这些沙漠化土地的形成( ．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致．是人类发展工农业所致．主要是由于降水减少，蒸发加剧．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进解析：3.C 4.A第题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成～题。．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是( ．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁．水土流失日趋严重．气候恶化，导致全球气候变暖．河流径流的季节变化减小．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是( ．四月、七月．四月．七月．十一月．茶园“消瘦”的主要原因是( ．缺乏分解者．缺少枯枝落叶．土壤中有机质被微生物分解．表层土壤被大量冲走解析：5.A 6.C7.D第题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。二、综合题
5
2019年高中数学第二章2.2的线性运算2.2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义优化练习4
