高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上
?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?{
f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0方程组有n个不同的实数解，两条曲线
就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(?,?)半径是化为(x+
2D2E)+(y+)2=D22D2E2D2?E2?4F2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
?E2-4F4
DE,-); 22②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜=(x0-a)2?(y0-b)2。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线 1．到两定点F1,F2的1．到两定点F1,F2的距距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点定义 的轨迹 2．与定点和直线的离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的与定点和直线的距离轨迹 相等的点的轨迹. 2．与定点和直线的距距离之比为定值e的离之比为定值e的点的点的轨迹.（0
⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知
x2y2x2y2双曲线的共轭双曲线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的
abab渐近线：
x2a2?y2b2?0.
⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲
x2y2xy线的渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0).
abab【备注2】抛物线：
（1）抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上； 抛物线x2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下. （2）抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?；抛物线
y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?p2p2p2p2p2p2p2p2p2p?x0 2（3）设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为
pp，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p. 22（4）已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1?x2+p或AB?22p(α为sin2?p2p直线AB的倾斜角)，y1y2??p，x1x2?,AF?x1?(AF叫做焦半径).
42五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x',y').设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 (x-h)2(y-k)2+2=1 2abx?x'?hy?y'?k或
x'?x?hy'?y?k
焦 点 (±c+h,k) 焦 线 a2x=±+h ca2y=±+k ca2x=±+k ca2y=±+k c对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k 椭圆 (x-h)2(y-k)2+2 =1 b2a(x-h)2(y-k)2-2=1 2ab(h,±c+k) (±c+h,k) 双曲线 (y-k)2(x-h)2-2=1 a2b(h,±c+h) (y-k)2=2p(x-h) (y-k)2=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) (x-h)2=-2p(y-k) 六、椭圆的常用结论： 2(+h,k) (-+h,k) (h, +k) p2p2p2p2x=-+h x=+h y=-+k p2p2p2p2y=k y=k x=h (h,- +k) y=+k x=h 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.
ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则
ab切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. 2abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一
ab点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?b2tan.
12?2x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
abkOM?kABb2x0b2??2，即KAB??2。 aay0x2y212.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02?2?2?2； 2abab【推论】：
x2y21、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
abx2y2x2y2x0xy0y??2?2。椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与
aba2b2abx2y2y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22、过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的
ab直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23、若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
ab?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24、设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭
ab圆上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25、若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则
ab当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y21a＞b＞0）6、P为椭圆2?2?（上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，
ab则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆a2b2A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y28、已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
ab4a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）OP?OQ.（1）
a?b2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2S?OPQ的最小值是2.
a?b2x2y29、过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，
ab弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF|e?. |MN|2x2y210、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂
aba2?b2a2?b2?x0?直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则?. aax2y211、设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其
ab2b2?焦点记?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?b2tan.
1?cos?2x2y212、设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
ab?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2a2b22ab2|cos?|2(1)|PA|?222.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?22cot?.
b?aa?ccos?x2y213、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦
ab点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x2y25、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程
ab是
x0xy0y?2?1. 2abx2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条
ab切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. 2abx2y27、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上
ab任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?b2cot.
12?2x2y28、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）当
abM(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211、AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB
ab的中点，则KOM?KABb2x0b2x0?2，即KAB?2。 ay0ay0x2y212、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦
abx0xy0yx02y02的方程是2?2?2?2.
ababx2y213、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹
abx2y2x0xy0y方程是2?2?2?2.
abab【推论】：
x2y21、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行
abx2y2的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的
ab直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）. ay0x2y23、若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,
abF 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24、设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）
ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25、若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，
ab则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内
ab一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y27、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是
abA2a2?B2b2?C2.
x2y28、已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动
ab点，且OP?OQ.
4a2b2111122
??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最222b?a|OP||OQ|aba2b2小值是22.
b?ax2y29、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N
ab两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF|e?. |MN|2x2y210、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的
aba2?b2a2?b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0??.
aax2y211、设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2
ab2b2?为其焦点记?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?b2cot.
1?cos?2x2y212、设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的
ab一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，
2ab2|cos?|则有(1)|PA|?222.
|a?ccos?|(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. b?a2x2y213、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲
ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：
4ac?b2b①ay?by?c?x顶点(?).
4a2a2②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2④y?2px（或x?2py）的参数方程为??y?2pt22（或??x?2pt2?y?2pt）（t为参数）.
图形 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 x轴 y轴 （0,0） 圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 标准方程 范围 椭圆 双曲线 抛物线 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 对称性 顶点 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 【其中c^2=a^2+b^2】 准线 渐近线 离心率 焦半∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣PF∣=x+p/e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 x=±(a^2)/c —————————— x=±(a^2)/c y=±(b/a)x x=-p/2 ————— 径 焦准距 通径 参数方程 a-ex p=(b^2)/c ∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c 2 p (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 斜率为k的切线方程 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k
高中数学圆锥曲线知识点总结
