2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》
1.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b=3,c=4,C=2B．
（1）求cosB的值； （2）求
的值．
中，
.
，
【答案解析】解：（1）
由正弦定理
.
,可得
（2）由（1）知，
.
.
2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，
（1）求角B的值； （2）若b=2,△ABC的面积为
，求a,c．
， .
，
.
，
（2）
的面积为
，
. ，
，
.
．
【答案解析】解：（1）
由正弦定理可得又
由辅助角公式得
，由（1）知
又即
，由余弦定理得
又.
csinA=b＋c.
3.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋
(1)求A； (2)若a=
，b＋c=3，求b，c。
【答案解析】解：
4.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.已知B=150°.
（1）若a=
c，b=2
，求△ABC的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案解析】解：（1）由余弦定理可得
的面积
（2）
，
， ，
.
；
，
5.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，已知
（1）求A； （2）若
，证明：△ABC是直角三角形．
．
【答案解析】解：（1）因为
即所以（2）因为又即所以即
，故
是直角三角形． ；
，所以
②， 将②代入①得，
，而
，解得，
， ，即
，解得
，又
，所以，
，
①，
，
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.
(1)求证:C=2A;
22
(2)若△ABC的面积为asinB,求角C的大小.
【答案解析】解(1)在△ABC中,根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC, 又因为ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC. 因为b>0,所以b-a=2acosC.
根据正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC. 因为A+B+C=π,即A+C=π-B, 则sinB=sinAcosC+cosAsinC, 所以sinA=sinCcosA-sinAcosC. 即sinA=sin(C-A).
因为A,C∈(0,π),则C-A∈(-π,π), 所以C-A=A,或C-A=π-A(舍去后者). 所以C=2A.
2222
(2)因为△ABC的面积为asinB,所以2asinB=acsinB, 因为a>0,sinB>0,所以c=2asinB, 则sinC=2sinAsinB.
因为C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,所以sinB=cosA. 因为A∈0,
,所以cosA=sin
-A,即sinB=sin
-A,
所以B=-A或B=+A. 当B=-A,即A+B=时,C=;
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