数学模型种群的相互依
存
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
种群的相互依存课件
题 目： 种群的相互依存模型 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2010级02班 学 号： 20
学生姓名： 李瑞芳
种群的相互依存
摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立了可以独立生
存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。 并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。
关键词：微分方程 稳定性 平衡点 Logsitic模型 种群 matlab 一、问题的提出
(1)在经济全球化的时代，各国的经济之间有什么关系呢大家知道，美国科技发达，而中国相对于美国而言，是一个盛产农作物的国家，两国之间须进行经济贸易往来才会使得两国快速发展，因此，两国之间形成了一种在经济上的相互依存关系。
(2) 汽车与汽油是什么关系呢如果没有生产汽车的厂家，那么生产出的汽油的销量就相当小，反之，如果某天生产汽油的厂家全部停产，那么汽车的市场可想而知. 只有当两个厂家同时并存且正常营业时，才会快速的盈利。
(3)自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。植物可以独立生存，昆虫的授粉又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。
我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着什么样的定性性质呢
二、问题的复述
这种共生现象可以描述如下：
甲乙两种群的相互依存有三种形式：
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 今天的课题以形式一进行展开，一起探讨形式一在自然界中的稳定性。
三、模型建立及求解
（一）基本假设
1、该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。
2、 考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。
3、 区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。 (二）符号说明
t：时间 x1(t)、x2(t)：两物种与时刻的个体数
N1、N2：两种群的最大容纳量 r1、r2：两种群的固有增长率
?1：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍数
?2：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍
形式一：甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
1、模型假设
甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。 2、模型建立
种群甲的数量演变规律可以写作
?x1x2?1(t)?r1x1?1??? x1?NN21? 式子中??1??? （1） ?x2的+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物。?1的含义是，N2单位数量乙（相对于N2）提供的甲的食物量为单位数量甲(相对于N1)消耗的供养甲食物的?1倍。
种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为r2，则乙单独存在时有
?2(t)??r2x2 （2） x甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有
?x1???2(t)?r2x2? （3） x?1??2??N1??式中?2表示甲为乙提供食物是乙消耗的?2 倍 显然仅当
?2x1N1?1时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作
用， （3）式右端还要添加Logistic项，方程变为
?x2x1???2(t)?r2x2? （4） x?1???2??N2N1?? 方程（1）、（4）构成相互依存现象的数学模型。
3、模型求解
下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。
?x1x2令f(x1,x2)?r1x1?1???1?NN21???x2x1????,?0g(x,x)?rx?1????0可得平衡点: 1222?2??N2N1????N1(1??1)N2(?2?1)???P(N,0)， P,112??,P3(0,0) 1???1???1212????f??x线性化矩阵为A=?1??g??x?1?f?x2?g?x22r1x1x????r1?1?r1?12N1N2?=???r2x2?2??N1??r1x1?1N2rx?2xr?r2?212?22N1N2??? ???对于P1(N1,0)，有
??r1A???0?定；
???p?r1?r2(1??2),q?r1r2(1??2)，于是当?2?1时，p1稳??r2?r2?2?r1?1?N1(1??1)N2(?2?1)?对于P2??1???,1?????，有
1212??
r?1?1??1??1??1?2A???r2N2?2??2?1??N?1????112?r1??1??1N1?1??r(1??1)?r2(?2?1)N2?1??1?2??，?p?1r2?1??2??1??1?2?1??1?2?q?r1r2(1??1)(?2?1)，稳定条件为p，q>=0,于是当?1?1,?2?1时，p2稳定；
1??1?2对于P3(0,0)，有
?r1A???0?0???p?r2?r1,q??r1r2，知q恒小于零，所以P3(0,0)一定不稳定。 ?r2??综上所述，得到方程（1）、（4）的平衡点及其稳定性分析的结果列入下表一： 平衡点 P q 不稳定 表一 种群依存模型的平衡点及其稳定性
显然，p2点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，下面着重分析p2稳定的条件。
局部稳定性分析：
可知，只在?1?2?1情况下，p2稳定，甲乙才分别趋向非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又互相提供食物，将使二者均趋向无穷。
全局稳定性分析：
由p2点的表达式容易看出，要使平衡点p2有实际意义，即位于相平面第一象限（x1,x2>=0),必须下面两个条件中的一个：
而由表一中p2点的p，q可知，仅在条件A1下p2才是稳定的（而在A2下p2是鞍点，不稳定）。图一画出了条件A1下相轨线的示意图，其中
稳定条件 ??1?.x1xxx??12,???1??21?2。直线??0和??0将相平面划分成4个区域：N1N2N1N2.....x1?0,x2?0;S4：S1：x1?0,x2?0;S2：x1?0,x2?0;S3：x1?0,x2?0;
..从四个区域中的正负不难看出其相轨线的趋向如图一所示。
图一 p2稳定的相轨线图
4、结果分析：
分析条件A1的实际意义，其关键部分是?2?1。考虑到?2的含义，这表示种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长。而?1?2?1则是在?2?1条件下为使p2位于相平面第一象限所必须的，当然这要求?1很小（?1?1是必要条件）。注意到?1的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长。
在种群依存模型（1）、（4）中如果平衡点P1(N1,0)稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的共存。?1?1,?2?1即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。在?1?2?1时，平衡点是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。 5、数值模拟
(1)为求微分方程组(（1）和（4） 及初始条件x1(0)?x10,x2(0)?x20的数值解
x1(t),x2(t)（并作图)，分析稳定点p1的数值解. 设r1=, r2= ,b1 =?1=1, b2
=?2=,x10 =2500,x20=2000,N1=8000, N2 =6000,用MatLab 软件求解.
首先建立M文件，如下： function f=shier(t,x)
r1=;r2=;b1=1;b2=;N1=8000;N2=6000;
f=[r1*x(1).*((1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*((-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)];
并保存为“”，然后在Maltab命令窗口中输入下列程序： >> ts=0::20;
>> [t,x]=ode45('shier',ts,[2500,2000])
>>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid
执行得到的数值结果为：
t = 0
x = +003 *
可得x1(t)、x2(t)及相轨线x2(x1)如图二、图三。
图二 数值解x1(t)、x2(t)的图形 图三 相轨线x2(x1)的图形
由图可知，甲种群的数量随着时间的增加而增加。即甲可以独自生存，乙不能独自生存。亦即当?2?1,?1?2?1时，平衡点P1(N1,0)是稳定点，此时种群依存模型是全局稳定的。验证了平衡点P1(N1,0)的稳定条件是正确的。
(2)为求微分方程组(（1）和（4）) 及初始条件x1(0)?x10,x2(0)?x20的数值解x1(t),x2(t)（并作图) , 分析稳定点p2的数值解. 设r1=, r2= ,b1 =?1=, b2 =?2=,x10 =2500,x20=2000,N1=8000, N2 =6000,用MatLab 软件求解.
首先建立M文件，如下： function f=shier1(t,x)
r1=;r2=;b1=;b2=;N1=8000;N2=6000;
f=[r1*x(1).*((1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*((-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)];
并保存为“”，然后在Maltab命令窗口中输入下列程序： >> ts=0::20;
>> [t,x]=ode45('shier1',ts,[2500,2000])
>>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid
执行得到的数值结果为：t = 0
x = +004 *
可得x1(t)、x2(t)及相轨线x2(x1)如图四、图五。
图四 数值解x1(t)、x2(t)的图形 图五 相轨线x2(x1)的图形
由图可知，甲乙种群的数量都随着时间的增加而增加，但甲增加的数量较大，乙刚开始有一段下滑，说明不能独自生存，随着甲给它提供食物，数量开始增加。即甲可以独自生存，乙不能独自生存，甲乙一起生存时相互提供食
?N1(1??1)N2(?2?1)?物。亦即当?1?1,?2?1,?1?2?1时，平衡点P2??1???,1?????是稳定
1212???N1(1??1)N2(?2?1)?点，此时种群依存模型是全局稳定的。验证了平衡点P2??1???,1?????1212??的稳定条件是正确的。
数学模型种群的相互依存
