科目 课题 教学目标： 1.知识与技能：明确直线一般式方程的形式特征；理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程，掌握直线方程的各种形式之间的相互转化； 2.过程与方法：通过直线的一般式方程的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力以及利用图形解决和分析问题的能力； 3.态度情感与价值观：通过直线方程各特殊式与一般式的学习，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点，渗透转化与划归的数学思想。 教学重点 ①对直线一般式方程的理解；②一般式方程的系数与直线位置的相互影响。 教学难点 直线的一般式方程的理解与应用 教学用具 学习用具 教学过程 【一】课堂导入 前面我们学过了直线的几种形式，同学们请看，下列直线方程表示平面内哪种类型的直线方程？ 备注与说明 数学 年级 高一 班级 时间 直线的一般式方程 共1课时，第1课时 1?1?y?2?(x?1) 3 ?3?x?3?y?1 2?32?1?2?y?5x?10?4?x?y?154学生众口：点斜式、斜截式、两点式、截距式。 对，习惯上我们总希望整齐和统一，现在我们将方程(1)化简整理1y?2?(x?1)?3y?6?x?1?x?3y?7?03 我们将形如①的方程写成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)【居中板演，留作后用】。此时，A=（1），B=（-3）C=（7）。 很好，其余的三个直线方程能否也化简整理成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式呢？ y?5x?10?5x?y?10?0x?3y?1??x?y?4?0 2?32?1 xy??1?4x?5y?20?0 54 设计意图：通过观察与归纳直线的以上几种形式都可以转化为一个二元一次方程，以此可让学生回顾直线这四种形式的不完备之处，从而引起学生联想：直线的这四种形式的最终转化结果（二元一次方程）是否可以用来表示平面内的任何一条直线？随之提出直线与二元一次方程有关的猜测。这种使学生产生不完备的地方能否给予改进、完善的想法就如春风般清新宜人，免除了将知识强塞给学生的嫌疑 【二】新知思考 思考一：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？ （学生考虑+老师点拨） 我们知道，如果按照直线的斜率分类，平面直角坐标系内的任意一条直线都可以分成斜率存在和斜率不存在两类，这样既简洁又不重不漏。 你能写出屏幕图示的两个方程吗？ （y=kx+b，x=x0） 看第一个是不是关于x,y的二元一次方程？ （学生众：是） 因为它可以写成kx-y+b=0 好的，第二个呢？ （是/不是，学生4：是的，此时y的系数为0） 确实如此，在平面直角坐标系中我们将此方程看成是一个关于x,y的二元一次方程。所以，平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；反之会成立吗？ 思考二：任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗？ （学生考虑+相互交流和讨论） 当B≠0时，y??截距为?ACAx?，它表示一条斜率为?，在y轴上的BBBC的直线； BCC当B=0时，它表示一条斜率不存在，在x轴上的截距为?x??，AA所以，我们将关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的直线。 称为直线的一般式方程，简称【一般式】。注意到，一般式的结构：①排布顺序：x,y,常数,=0;②系数要求：B,C为整数，A为自然数；③A,B不同时为0，假若A,B同时为0这个方程就没有意义了。 数学的学习过程是一个不断概括化和精确化的过程。我们将平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示，这样既能表示平面直角坐标系内任意一条直线，在形式上又是统一的。此处的引导和探究是本节课的点睛之处，体现老师的主导型和学生主体性之处，切忌包揽，关键之处由学生陈述，老师只作概括性描述。这样一来，既创设了有利于学生思维去创造、发现的问题情境，以此来培养学生思维的创新能力，又培养了学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力以及利用图形解决和分析问题的能力。 【三】例题解析 例1：已知直线经过点A?6,?4?，斜率为?4，求直线的点斜式和一3般式方程。 变式训练：由下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： （1）在y轴上的截距为2，斜率是?1； （2）经过点A?3,?2?并与直线3x?4y?12?0垂直。 讲解例题，学生自行完成变式训练。根据条件选择合适的直线方程形式表示直线，再写成一般式。特别注意，变式训练（2）有两种方法，若有直接设出方程3x-4y+m=0的须号召大家鼓掌表扬！ 例2：把直线l的一般方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． 变式训练：求直线l:2x-5y-10=0与坐标轴围成的三角形的面积. 设计意图：例1是从“数”的方面加深了对一般式的认识，例2则从“形”的方面来进一步认识一般式，于是数与形就有了和谐的结合。这里还要注意提醒学生：画出一条直线的基本步骤是：画平面直角坐标系，找直线上不同的2点（方法任选，如赋值法等），连接这2点并延长。【画、找、连】 【四】探究与升华 我们通过直线的点斜式可以看出直线上的一点和它的斜率，通过截距式可以看出直线在x,y轴上的截距，但是这些直线方程的特殊形式都不能表示平面直角坐标系内任意一条直线。而可以表示平面直角坐标系内的任意一条直线的一般式的系数A,B,C与直线的位置和特征有什么联系呢？ 探究1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)中， （1）当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与y轴 ； （2）当A、B不同时为0，C=0时，方程表示的直线必过 。 探究2：在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： （1）平行于轴； （2）与两坐标轴都相交。 练习： 1.已知直线l:Ax+By+C=0的图象如图所示，则（ ） A.若C>0，则A>0，B>0 B.若C>0，则A<0，B>0 C.若C<0，则A>0，B<0 D.若C<0，则A>0，B>0 2.设点P?x0,y0?在直线Ax+By+C=0
人教版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》表格教案
