所以，S(x)?ln(x?3), (3?x?5).
4.求f(x)?1在x0?2处的幂级数展开式. 4?x111??解：因为f(x)?4?x2?(x?2)211?x?2n?()， x?22?2n?01?2且
x?2?1，得0?x?4，而当x?0或x?4时，上面级数都发散. 2所以，f(x)??2n?02?1n?1(x?2)n，0?x?4.
5.将函数y?ln(1?x?2x)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间. 解：y?ln(1?x?2x)?ln(1?x)(1?2x)?ln(1?x)?ln(1?2x)
?(?1)n?1n?(?1)n?1(?1)n?1n?2nnn??x??(?2x)??x??x
nnnnn?1n?1n?1n?1?2(?1)n?1?2nn11??x, x?[?,).
n22n?1?
第七章 微分方程作业（练习七）参考答案
一、填空：
1.若y1?x?,y2?x?都是方程y??p?x?y?q?x?的特解，且y1?x?,y2?x?线性无关，则通解可表示为
y?c?y1?y2??y1或y?c?y1?y2??y2.
x3y??sinx??c1x2?c2x?c3???62.y?cosx?1的通解为
1?1?11y?x????y?1??,y?1?????2?y??0?y122??. 124的特解为3.的满足初始条件
3x???y?c?cey?3y?0124.微分方程的通解为.
3???5.微分方程y?6y?13y?0的通解为y?e?3x?c1cos2x?c2sin2x?.
(4)y?c1?c2x??c3?c4x?ex????y???0y?2y6.微分方程的通解为. *23x???6y??9y??x?1?e3x??yy?xax?be7.微分方程的特解形式为.
*???y?acosx?bsinx. y?3y?2y?sinx8.微分方程的特解形式为
????9.设y?y?x?满足y?4y?4y?0,y?0??2,y?0??2
y?x?dx??则 2
0??10.方程y???2y??y?e
二、选择题： 1.y???2y??5y?e（A）y?e**?x?x?x的通解为??12?x?c1x?c2?e?x ?2?cos2x的特解可设为 ［ C ］
Acos2x; （B）y*?xe?xAcos2x;
（C）y?xe?x?Acos2x?Bsin2x?; （D）y*?e?x?Acos2x?Bsin2x?.
2.微分方程的阶数是指 ［ B ］
（A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C）方程中未知函数的最高次数； （D）方程中函数的次数.
3.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解. ［ C ］
222（A）x?y?c; （B）y?c1x?c2x?c3;
（C）y?c1sinx?c2cosx; （D）y?ln?c1x??ln?c2cosx?.
224.下面函数中（ ）是微分方程y???y?满足初始条件y|x?0?2的特解. ［ B ］
x（A）y?ce; （B）y?2e; （C）y?e; （D）y?e?2.
xxx5.微分方程y??y的通解是y? ［ B ］ （A）0.5x?c （B）ce （C）ce
三、求解下列各题：
（1）2x1?ydx?ydy?0的所有解.
解：原方程可化为
22x?x （D）y?e?c
xydy1?y2222（当y?1），两边积分得?1?y??x?c，即 ??2xdx，
x2?1?y2?c为通解。当y2?1时，即y??1，显然满足原方程，所以原方程的全部解
为x?1?y?c及y??1。
（2）xy??y?22x2?y2;
yy?y?解：当x?0时，原方程可化为y???1???，令?u，得y?xu，原方程化为
xx?x?2xu??1?u2，解之得arcsinu?lnx?c；
y?y?当x?0时，原方程可化为y????1???，类似地可解得arcsinu??lnx?c。综合
x?x?上述，有arcsin2y?lnx?cx?0; ??x??lnx?cx?0.（3）y??ycosx?1sin2x; 2?cosxdx?1?cosxdxdx?c??sinx?1?ce?sinx。 sin2xe解：由公式得 y?e?????2?（4）y??y?y2lnx; x?1?1?????dxdx???1?x?xy?edx?C??elnx????lnx?e?????ln2x?1???x????lnx??dx?C??x???C?x2????解：原方程的解为
????lnx?e?lnxdx?C?
（5）y???xe,y?0??y??0??1;
?x解：y??xe?xdx??xe?x?e?x?C1，由 y??0??1，得C1?2，即
?y???xe?x?e?x?2，再积分得y?xe?x?2e?x?2x?C2，由y?0??1，得C2??1，
故所求特解为y?xe（6）y???ex?x?2e?x?2x?1。
?y??2.
u?1xx，两边积分得?e??e?C1，即
uu2x2解：令y??u得，u??eu，当u?0时，有
u??11?,y??，
ex?C1ex?C1xxt?e?C1dx令e?C1?tdt1t?C11exy???x?????ln?C2??lnx?C2。
t?t?C1?C1tC1e?C1e?C1（7）y???9y?0满足y?0??0,y??0??3;
2解：特征方程为??9?0，?1,2??3i，故通解为y?C1cos3x?C2sin3x，由
y?0??0,y??0??3得C1?0,C2?1，故y?sin3x为所求特解。
（8）y???y?x?cosx;
解：对应的齐次方程的通解为Y?C1cosx?C2sinx，
设非齐次方程 y???y?x的特解为y1?Ax?B，
y???y?cosx的特解为y2?Excosx?Dxsinx，
将y?y1?y2代入原方程可得A?1,B?0,E?0,D?1，所以原方程的通解为 2xy?C1cosx?C2sinx?x?sinx。
2（9）y???3y??2y?e?xsinx;
?x解：对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?C2e?2x，设特解为
y*?e?x?Asinx?Bcosx?代入原方程得A?B??1，因此 21y?C1e?x?C2e?2x?e?x?cosx?sinx?为所求特解。
2
第八章 行列式与矩阵作业（练习八）参考答案
一、填空题：
1.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|?A???A??|=??1?n1 300L0100L20n(n?1)2. LLLLL?(?1)2n!
0n?1L00n0L00?13. 11?111x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是2 ?1131x4. f(x)=x25是_____2_____次多项式，其一次项的系数是___4_______。
14x5.设A为n阶矩阵，且|A|=3，则|A|A?1?|A|n|A?1|?|A|n?1?|A|n?1?3n?1。 |A|6.A为n?n阶矩阵,且A?3A?2E?O,则A?1=7.设矩阵
231E?A 220??36?2?6?????A=01?2，B?91 则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是???????3?19???08??_-3____．
－1
8.设方程XA－B=X，如果A－I 可逆，则X=B(A－I )
?0?0?9.设A=?3??2n01003010?1???01?2??00?3????1?21–1
?1?，(A*)–1==?A??0，则A==?00?3??0?3??1?0??1?2020??????0100???300?11?3?12???33?10??
3?00??00???11??11?10. ??= ?? (n为正整数).
0000????
二、单选题：
k?k????的充分条件是 ［ C ］
1.D??????（A）k=2； （B）k=0; （C）k=3; （D）k=-3.
a112.若D=a21a31a12a22a32a134a115a11?2a12a23=m≠0，则D1=4a215a21?2a22a334a315a31?2a32a13a23= [ C ] a33（A）–40m （B）40m （C）–8m （D）20m
中南大学网络教育高等数学纸质作业答案
