(1?x)2(1?x)21212dx 解：?dx=?(??1)dx??dx??dx??1dx （1）?xxxxxx?lnx?4x?x?c
（2）xsin?111xdx 解：设u?x,v??sinx, 于是v??2cosx，于是 22211111xdx??2?x(cosx)'dx??2?xdcosx??2(xcosx??cosxdx)22222
11111??2xcosx?2?2?cosxdx??2xcosx?4sinx?c22222?xsin2?1（3）
?1?xdx
解：
?2?11?xdx=
?1?1(1?x)dx??21(x?1)dx=
?1dx???111?1xdx??xdx??1dx
1122121122352=x?1?x?x?x1?2?0??1?
2?121221（4）
?10x1?x2dx 解：?x1?x2dx??0111112221?x(?2x)dx??1?xd(1?x) ??0022312012???(1?x2)23?1 3b（5）
???1x131dx 解：???1x131dx?limb???1?b1dx?limx31b???13??1x3123?lim(b3?1) b???212极限不存在，则积分发散
（6）
x2?y2?a2??a2?x2?y2d?
2解：f(x,y)?a2?x2?y2是D上的半球面，由I???a2?x2?y2d?的几何意义知I=V半球=?a3
3D（7）
??yd? ，D由 x?y?1,x?y?1,x?0 的围成。
DD解：关于x轴对称，且f(x,y)?y是关于y的奇函数，由I几何意义知，? ??yd??0 （8）
2sinydxdy，D由x?1,y?x?1,y?2围成。 ??D?0?y?2解：∵ ?sinydy不能积出，则需先对x积分D（Y—型）?
?1?x?1?y2I??dy?021?y1siny2dx??siny2?ydy?02112(?cosy2)|0?(1?cos4) 222.设f(x)的原函数为
sinx?c，求?xf?(x)dx xsinx?C x解：xf?(x)dx???xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?xf(x)?f(x)?(3.估计积分
sinxcosx?x?sinxsinx? )??xf(x)dx?cosx?2?C 2?xxx20?x?10?y?1??xy(x?y2)d?的值。
解：f(x,y)?xy(x2?y2)，D?[0,1;0,1]，在D内
?f?f?x(x2?3y2)，即在D内f无?y(3x2?y2)，?y?x驻点又在D的边界上：x?0,x?1,y?0,y?1上，知M?max{f}?1，m?min{f}?0
(x,y)?D(x,y)?D又 SD?1， ∴ 0?I?1
4.设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，求证：
?baf(x)dx?ba1f()dx?(b?a)2 x证明：证D?[a,b;a,b]，由代数不等式A2?B2?2AB
1bbdybbdx左式=[?af(x)dx?a??af(y)dy?a]
2f(y)f(x)1f(x)f(y)[?]dxdy??2Df(y)f(x)?1f2(x)?f2(y)???dxdy 2Df(x)f(y)12f(x)f(y)???dxdy???dxdy?(b?a)2?右式2Df(x)f(y)D
第六章 无穷级数作业（练习六）
一、填空题： 1.
2n?12n?2x的收敛区间为(?2,2)。 ?n2n?1?2.函数f(x)?11?1?x?x2?x3???(?1)nxn??， x?(?1,1). 在x0?0处的幂级数为
1?x1?x(?1)31133.函数f(x)?展开成(x?1)幂级数，则展开式中(x?1)的系数是4??
81x?234.
若
级
数
?unn?1?的前
n项部分和是：
Sn?11?22(2n?1)，则
11111un?Sn?Sn?1?[?]?[?]?
22(2n?1)22(2n?1)(2n?1)(2n?1)np （p为任意常数）的值等于?0。 5.极限limn??n!
二、选择题：
1.下列说法正确的是( D )。 A.若级数
?un?1?n收敛，且un?vn，则
??vn?1?n也收敛 B.若
?|uvn?1?nn2|收敛，则?u和?vn都收敛
2nn?1n?1?????1222C.若正项级数?un发散，则un? D.若?un和?vn都收敛，则?(un?vn)收敛
nn?1n?1n?1n?12?51an与，则幂级数?2xn的收敛半经为（ A ） 2.设幂级数?anx与?bnx的收敛半经分别为33n?1n?1n?1bn?n?n B.
?511 C. D. 3352n3.常数??0，且级数
?an?1收敛，则级数
n(?1)?n?1?|an|n??2( C )。 解：选C
A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与?有关 4.设函数项级数
?un?1?n(x)，下列结论中正确的是( B )。
A.若函数列?un(x)?定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间 B.若S(x)为此级数的和函数，则余项rn(x)?S(x)?Sn(x)，limrn(x)?0
n??C.若x0?I使
?un?1?n(x0)收敛，则|x|?|x0|所有x都使?un(x)收敛
n?1?D.若S(x)为此级数的和函数，则
??un?1?n(x0)必收敛于S(x0)
5.设a?0为常数，则级数
an(?1)(1?cos)（ A ）。 ?nn?1A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与a有关
(x?a)n6.若级数?(?1)在x?0时发散，在x?0处收敛，则常数a?（ B ）。
nn?1?n
三、求解下列各题：
1.判别下列级数的敛散性： （1）
1352n?1?2?3???n?? 解：由达朗贝尔判别法可得原级数收敛。 33331(n?1?n?1) 解：由达朗贝尔判别法可得原级数收敛。 ?n!n?1(1?cos) 解：1?cos?2sin2~2()2, (n??)， ?nn2n2nn?1因为
??（2）
（3）
?????n?1??2?1??2收敛，所以?(1?cos)收敛. 2nnn?12．判别下列级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛 （1）
an(?1)(1?cos)（常数a?0）； ?nn?1ana，而limn??n??1?cos解：由(?1)(1?cos)?1?cosnaaa2sin22()22n?lim2n?lim2n?a?0，
n??n??1112n2n2n2?a1由正项级数的比较判别法知，?(1?cos)与?2同时敛散.
nn?1n?1n?1a而?2收敛，故?(1?cos)收敛，从而原级数绝对收敛.
nn?1n?1n??（2）
?(?1)nn?21； lnnn?1解：记un?(?1)??111?，则un??vn.显见?去掉首项后所得级数?vn仍是发
ln(n?1)n?1n?1n?1n???散的，由比较法知
n?1uu(?1)发散，从而 发散. 又显见?n?n?n?1n?2n?11是Leibniz
ln(n?1)型级数，它收敛. 即
?(?1)nn?2?1收敛，从而原级数条件收敛. lnn3.求下列幂级数在收敛区间上的和函数S(x)：
xn（1）?
n?1n(n?1)??an?1(?1)nn(n?1)解：??lim，都收?lim?1，所以R?1.又当x??1时，级数成为?n??an??(n?1)(n?2)n(n?1)n?1nxn敛，故级数的收敛域为[?1,1].设级数的和函数为S(x)，即S(x)??.
n(n?1)n?1???xn?1xn1n?1?再令f(x)?xS(x)??，逐项微分得，f?(x)??，f??(x)??x， 1?xn?1n(n?1)n?1nn?1?? x 0f??(x)dx??1dx??ln(1?x)，f?(x)?f?(0)?f?(x)??ln(1?x), f?(0)?0， 01?x x xx? x 0f?(x)dx???ln(1?x)dx??xln(1?x)0?? 0xdx 01?x
x??xln(1?x)?x?ln(1?x)?(1?x)ln(1?x)?x，
故f(x)?x?(1?x)ln(1?x)，又显然有S(1)?1，故
?1?x?1?xln(1?x), x?0,1,?S(x)??0, x?0,?1, x?1.??
(?1)n?1(x?4)n； （2）?nn?1?解：R?limann?1?lim?1，所以，?1?x?4?1，3?x?5.
n??an??nn?11(?)，由调和级数知发散； ?nn?1??当x?3时，级数成为
(?1)n当x?5时，级数成为?，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以
nn?1收敛区间为(?3,5].
?(?1)n?111n(x?4)，则S?(x)??(?1)n?1(x?4)n?1??设S(x)??， n1?(x?4)x?3n?1n?1?
中南大学网络教育高等数学纸质作业答案
