教学目的：
第四章 不定积分
1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）
与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点：
1、 不定积分的概念； 2、 不定积分的性质及基本公式； 3、 换元积分法与分部积分法。 教学难点：
1、换元积分法； 2、分部积分法；
3、三角函数有理式的积分。
§4? 1 不定积分的概念与性质
一、 教学目的与要求：
1． 2．
理解原函数与不定积分的概念及性质。 掌握不定积分的基本公式。
二、 重点、难点：原函数与不定积分的概念
三、 主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ，
Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms.
四、 辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、 参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上? 可导函数F(x)的导函数为f(x)? 即对任一x?I? 都有
F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数? 例如 因为(sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函数? 又如当x ?(1? ??)时?
因为(x)??1? 所以x是1的原函数?
2x2x 提问:
cos x和1还有其它原函数吗？ 2x 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续? 那么在区间I上存在可导函数F(x)? 使对任一x ?I 都有
F ?(x)?f(x)?
简单地说就是? 连续函数一定有原函数? 两点说明?
第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)?C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数?
第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则 ?(x)?F(x)?C (C为某个常数)?
定义2 在区间I上? 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分? 记作
?f(x)dx?
其中记号?称为积分号? f(x)称为被积函数? f(x)dx称为被积表达式? x 称为积分变量?
根据定义? 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数? 那么F(x)?C就是f(x)的不定积分? 即
?f(x)dx?F(x)?C?
因而不定积分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数? 例1??因为sin x 是cos x 的原函数???所以 ?cosxdx?sinx?C? 因为x是1的原函数???所以
2x
?21dx?x?C? x
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