微专题三 破解导数压轴题
[经验分享]
通过对以函数与导数为核心命制的压轴题的分析与研究，发现大多数需构造辅助函数才能顺利解决，构造辅助函数对学生的创造性与创新性思维能力的要求较高，那么辅助函数的构造有规律可循吗？构造辅助函数解决压轴题的具体策略有哪些呢？ 策略一 观察分析构造
观察是科学研究的重要方法，也是数学解题的首要心理活动，更是构造辅助函数最为直接的策略．
例1 已知函数f (x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点． (1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f (x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. (1)解 a的取值范围为(0，＋∞)；
(2)证明 求导得f′(x)＝(x－1)(ex＋2a)，由(1)知a>0. 所以函数f (x)的极小值点为x＝1.
结合要证结论x1＋x2<2，即证x2<2－x1.若2－x1和x2属于某一个单调区间，那么只需要比较f (2－x1)和f (x2)的大小，即探求f (2－x)－f (x)的正负性．
于是通过上述观察分析即可构造辅助函数F (x)＝f (2－x)－f (x)，x<1，代入整理得F (x)＝ －xe－x＋2－(x－2)·ex.求导得F′(x)＝(1－x)(ex－e－x＋2)．即x<1时，F′(x)<0，则函数F (x)是(－∞，1)上的单调减函数．于是F (x)>F (1)＝0，则f (2－x)－f (x)>0，即f (2－x)>f (x)． 由x1，x2是f (x)的两个零点，并且在x＝1的两侧，所以不妨设x1<1 由(1)知函数f (x)是(1，＋∞)上的单调增函数，且x2，2－x1∈(1，＋∞)，所以x2<2－x1. 故x1＋x2<2得证． 点评 此题的压轴问以函数零点为依托，看似证明不等式，实则是极值右偏问题，解决的核 心是通过观察分析构造辅助函数F (x)＝f (2－x)－f (x)，建立抽象不等式“f (x2) 整体思路是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理．整体构造辅助函数就是立足这一思想来解决函数综合题的一种策略． 例2 (2017·全国Ⅱ)已知函数f (x)＝ax2－ax－xln x，且f (x)≥0. (1)求a； (2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e2 (2)证明 由(1)知f (x)＝x2－x－xln x， 求导得f′(x)＝2x－2－ln x. 整体构造辅助函数g(x)＝2x－2－ln x， 1求导得g′(x)＝2－. x 1?当g′(x)>0时，x∈??2，＋∞?； 111 0，?.即函数g(x)在?，＋∞?上单调递增，在?0，?上单调递减． 当g′(x)<0时，x∈??2??2??2?1??0，1?内有唯一零点x0，在?1，＋∞?内有唯一零又g(e－2)>0，g?<0，g(1)＝0，所以g(x)在?2??2??2?点1，且当x∈(0，x0)时，g(x)>0；当x∈(x0,1)时，g(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0.因为f′(x)＝g(x)，所以x＝x0是f (x)的唯一极大值点． 由f′(x)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f (x0)＝x0(1－x0)． 11 0，?得f (x0)<. 又由x0∈??2?4 又因为x＝x0是f (x)在(0,1)上的最大值点，结合e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0，得f (x0)>f (e－1)＝ e－2. 所以e－2 － － 策略三 局部构造 若问题的整体结构比较复杂，使得正面解决很困难时，可以考虑将复杂的整体看成几个部分，实施局部构造辅助函数，从局部突破，从而达到解决问题的目的． x－2x 例3 (1)讨论函数f (x)＝e的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0； x＋2 ex－ax－a (2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求h(a) x2的值域． 解 (1)略； x＋2?x－2x? e＋a?. (2)对g(x)求导得g′(x)＝3·x?x＋2 ?? x－2 局部构造辅助函数h(x)＝ex＋a，即h(0)＝a－1<0，h(2)＝a≥0.由零点定理及第(1)问结论 x＋2知h(x)在(0,2]上有唯一零点x＝m. 所以函数g(x)在(0，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增．于是x＝m为函数g(x)的极小值点，也为最小值点．即当a∈[0,1)时，函数g(x)有最小值g(m)． m－2m－2由于em＋a＝0，即a＝－em. m＋2m＋2 所以当a∈[0,1)时，有m∈(0,2]，于是函数g(x)的最小值 g(m)＝ ?m－2m? e?·e－?－?m＋1?m＋2?? m m2 em ＝. m＋2 em 再次引入辅助函数r(m)＝(m∈(0,2])，求导得 m＋2r′(m)＝em>0. 2 ?m＋2? 所以函数r(m)在(0,2]上单调递增，因此可求得函数h(a)的值域．故函数g(x)的最小值的取值112? 范围为(r(0)，r(2)]，即??2，4e?. 点评 此道压轴题g(x)的导函数结构比较复杂，于是从局部实施突破，构造辅助函数．这种 m＋1
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