1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
0n1nrn?rrnna?Cnab?L?Cnab?L?Cnb(n?N?)， （1）(a?b)n?Cn1rrx?L?Cnx?L?xn. （2）(1?x)n?1?Cnrn?rrab 2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是
1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：
01(a?b)n展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn2，…，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量的函
数f(r)，定义域是{0,1,2,L,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
mn?mCn?Cn）．
直线r?（
kCn?n是图象的对称轴． 22）增减性与最大值．∵
n(n?1)(n?2)L(n?k?1)k?1n?k?1?Cn?，
k!kn?k?1n?k?1n?1?1?k?∴Cnk相对于Cnk?1的增减情况由决定，，
kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中
2间取得最大值；
当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn2nn?12n，Cn?12n取得最大
值．
（3）各二项式系数和：
012rn1rr?Cn?Cn?L?Cn?L?Cnx?L?Cnx?L?xn，令x?1，则2n?Cn∵(1?x)n?1?Cn 三、讲解范例：
例1．在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
例2．已知(1?2x)7?a70?a1x?a2x2?L?a7x，求：
（1）a1?a2?L?a7； （2）a1?a3?a5?a7；解：
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解：
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：
（3）|a0|?|a1|?L?|a7|.
例5.已知(x?式的常数项 2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开x2解：
例6． 设?1?x???1?x???1?x??L??1?x??a0?a1x?a2x2?L?anxn， 当a0?a1?a2?L?an?254时，求n的值 23n解：
123n?2Cn?3Cn?L?nCn?n?2n?1． 例7．求证：Cn证
例8．在(2x?3y)10的展开式中,求:①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
例9．已知(3x?x2)2n的展开式的系数和比(3x?1)n的展开式的系数和大992，求(2x?1)2nx的展开式中:①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项. 解：
例10．已知：(x?3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 23解：
1n?12n?2n?12?Cn2???Cn?2?1(n?N?)，求证：当n为偶数时，例11．已知Sn?2n?CnSn?4n?1能被64整除
湖北省宜昌市高中数学 第一章 计数原理 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质学案(无答案)新人教A版选修2-3
