§1.1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
一、基础过关
1． 一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为 ( )
A．0.41 C．4
B．3 D．4.1
2． 函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是
( ) A．0 C．2
B．1 D．Δx
f?1＋Δx?－f?1?
3． 设函数f(x)可导，则Δlim 等于 x→03Δx
A．f′(1) 1
C.f′(1) 3
B．3f′(1) D．f′(3)
( )
4． 一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为
A．4 C．24
B．6 D．48
( )
5． 函数y＝3x2在x＝1处的导数为
A．12 C．3
( )
B．6 D．2
6． 甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较
好的是 A．甲 C．相同
( )
B．乙 D．不确定
7． 函数f(x)＝5－3x2在区间[1，2]上的平均变化率为______． 二、能力提升
8． 过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，
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割线的斜率k＝________.
1
9． 函数f(x)＝2＋2在x＝1处的导数f′(1)＝__________.
x10．求函数y＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]内的平均变化率． 11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值． 三、探究与拓展
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
?3t2＋2 ?t≥3? ①s＝? 2 ?0≤t<3? ②29＋3?t－3??
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
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答案
1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．－9 8．2.1 9．－2
10．解 因为Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2，2＋
Δy－8Δx－2?Δx?
Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.
ΔxΔx
2
11．解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
2
Δy2?Δx?＋16Δx∴＝＝2Δx＋16. ΔxΔx
∴y′|x＝3＝Δlim x→0＝16.
Δy
＝lim (2Δx＋16) ΔxΔx→0
12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx. ∴f′(1)＝Δlim x→0
f?1＋Δx?－f?1?
Δx
a?Δx?2＋2aΔx
＝Δlim x→0Δx
＝Δlim (aΔx＋2a)＝2，即2a＝2， x→0∴a＝1.
13．解 (1)∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为 Δs48
＝＝24 (m/s)． Δt2
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
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Δsf?0＋Δt?－f?0?＝ ΔtΔt
29＋3[?0＋Δt?－3]2－29－3?0－3?2＝
Δt＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为 lim Δt→0
Δs
＝lim (3Δt－18)＝－18， ΔtΔt→0
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为 Δsf?1＋Δt?－f?1?＝ ΔtΔt
29＋3[?1＋Δt?－3]2－29－3?1－3?2＝＝3Δt－12.
Δt∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 lim Δt→0
Δs
＝lim (3Δt－12)＝－12. ΔtΔt→0
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
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高中数学 人教A版选修2-2第一章 1.1.1-1.1.2
