三角形的三条内角平分线交于一点且该点是四面体的六个二面角的平分面交于一点，且三角形内切圆的圆心. 该点是四面体内切球的球心． 三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面等于第三边的一半. 1积等于第四个面面积的4,且该三角形所在平面平行于第四个面. 三角形的任何一条边上的中线将三角形分成四面体的任何一个三角形面上的一条中线和面积相等的两部分. 这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分． 三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一将四面体的每一个顶点和对面的重心相连条中线被该点分成的两段的比为2：1. 接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1 （7）平面内的正三角形与空间中的正四面体性质类比：
正三角形（边长为a） 正三角形的三边相等． 正四面体（棱长为a） 正四面体的四个面面积相等，六条棱长相等． 正四面体的四个面中任意两面所成的二面角正三角形的三角相等． 都相等（注：不为60），各条棱与其相交面所成的线面角都相等，相交的棱的夹角都相等．（注：异面棱垂直）
（二）类比思想在中学数列性质中的体现 1.等差数列性质：
以上均为正整数。 2.等比数列性质：
o (1)若m、n、p、q?N?，且m+n=p+q，且amgan?apgaq
(2)在等比数列中，依次每K项之和仍为等比数列
G是a、b的等比中项=ab（G≠0）。
四、类比思想在中学数学解题中的体现
运用类比思想对可能的解题方法进行猜测，往往可以得到正确的解题思路，美国著名的数学家G.波利亚在他的世界名著《怎样解题》中这样说过：“在求证或求解一个问题时，如果能成果的发现一个类比题，那么这个类比问题可以引导我们达到原问题的解答”。下面通过例子来分析类比思想在数学解题中的体现： （一）类比思想在中学几何题中的体现
1.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形
OM1ON1??面积之比为：. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射
S?OM2N2OM2ON2S?OM1N1线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为： .
分析 在平面中是两三角形的面积之比，类比到空间应是体积之比。
关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …
这道题显然用到了多面体 多边形；体 积 面 积 ； 即 ； ； ； 故猜想
VO?P1Q1R1VO?P2Q2R2?OP1OQ1OR??1. OP2OQ2OR2本题主要考查由平面到空间的类比，要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
2.在平面几何中，有勾股定理：“设?ABC的两边AB、AC互相垂直，则
AB2?AC2?BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面
面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .” 分析 此题依旧是空间问题与平面问题的类比
跟上题所不同的是这道题用到了多面体 多边形； 面 边；
即?ABC 三棱锥A-BCD ；AB，AC ， ，； BC .
根据上题的分析，可类比猜测本题的答案：
2222 S?ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD
3.在?DEF中有余弦定理：
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，
写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明. 分析 根据类比猜想
多面体 多边形；面 边； ；
222得出SAA?S?S?2SABB1A1?SBCC1B1cos?. CCABBABCC11111B1 其中?为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱ABC?A1B1C1的直截面DEF，则?DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角，在?DEF中有余弦定理：
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos??，
同乘以AA12，得
DE2?AA12?DF2?AA12?EF2?AA12?2DF?AA1?EF?AA1cos??.
222即 SAA?S?S?2SABB1A1?SBCC1B1cos?. CCABBABCC11111B1 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉。
4.已知两个圆：x2?y2?1， ①
与x2?(y?3)2?1 ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .
分析 将题设中所给出的特殊方程①、②类比推广归纳到一般情况： 设圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2， ③
与 (x?c)2?(y?d)2?r2 ④
其中a?c或b?d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程. 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
5.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之
x2y2积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质，
ab并加以证明。
x2y2分析 通过类似得到的性质为：若M、N是双曲线2?2?1上关于原点对称的两
ab个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。 证明：设点M、P的坐标为（m,n）、（x,y），则N（?m,?n）.
b22b2222 因为点M（m,n）在已知双曲线上，所以n?2m?b，同理y?2x?b2.
aa2则kPM?kPN
y?ny?ny2?n2b2x2?m2b2??????（定值）. x?mx?mx2?m2a2x2?m2a2（二）类比思想在数列题中的体现 1.在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立。
分析 本题考查等差数列与等比数列的类比。等差数列与等比数列的类比关系是：
等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且 则）； 类比于
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且 则）.
故猜测本题的答案为： 事实上，对等差数列，如果，则 . 则有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.
综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。
结束语
数学家波利亚曾说过：类比就是一种相似,就是依据两个或两类数学对象的相似性进行联想，把它们其中一个数学对象已知的较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法。类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用，通过
类比思想在中学数学中的应用
