数学基础知识与典型例题
第十二章复数 1.虚数单位i及特性: ①i的性质: i2??1; ②i的幂的周期性:若n?Z,则 i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1; ③实数可以与i进行四则运算, 进行四则运算时,原有的 加、乘运算律仍然成立. 2.复数相等的充要条件: ①复数的代数形式z?a?bi(a?R,b?R),a称为实 复部,b称为虚部. ②如果a,b,c,d?R,那么数 a?bi?c?di?a?c,b?d；特别地a?bi?0?a?b?0 3.复数是实数的充要条件: ①z?a?bi?R?b?0(a?R,b?R); ②复数z的共轭复数为z,则有z?R?z?z 4.复数是纯虚数的充要条件: ①z?a?bi(a?R,b?R)，则z是纯虚数?a?0且b?0; ②z是纯虚数?z?z?0且z?0 5.复数z?a?bi(a?R,b?R)与平面上的点Z(a,b)、向量OZ一一对应. 6.z2?z2?z2?zz 注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小 22 1.z＝(m?3m?2)?(m?m?2)i是纯虚数，实数m 的值是( ) (A)1 (B)2 (C)－2 (D)1和2 复 2. 当m?1时，复数z?2?(m?1)i在复平面上对应的数 点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 如果复数2?bi1?i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b=( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4. 下列四个命题： ①满足z?1z的复数有?1,?i； ②若a，b是两个相等的实数，则(a?b)?(a?b)i是纯虚数； ③复数z?R的充要条件是z?z； ④复平面内x轴即实轴，y轴即虚轴. 其中正确的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5. 1?i?2i2?3i3??100i100 ＝( ) (A)51?50i (B)50?50i (C)50?50i (D)49?50i 2 6. ??1?i?的值等于( ) ?1?i??(A)1 (B)-1 (C)i 第1页 第2页
(D)-i 7. 复数(?i?3)2的虚部是 . 8. 在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复 数分别为?2?i，3?2i，1?5i，那么BC表示的复数复为____________. 数 9. 已知复数z对应的点(a,b)在圆(x?1)2?y2?1上移动,并且iz?1是纯虚数,则复数z的值为________. 10. 关于x的方程x2?(tan??i)x?(i?2)?0（??R,x?C) ⑴若此方程有实数根，求锐角?的值；⑵求证：对任意的实数?（???2?k?），原方程不可能有纯虚根. 数学基础知识与典型例题(第十二章)复数答案
例1.B 例2.D 例3.A 例4.B 例5.A 例6.B 例7. ?23 例8. 4－4i
例9.0或??[点评]本题考查复数的运算和复数的几何意义. 例10. 解：⑴设x?R是方程x2?(tan??i)x?(i?2)?0的根，
2??x2则x?xtan??2?i(x?1)?0∴?xtan??2?0①?x?1?0②
由②得x??1 代入①得tan??1，∴锐角???4 ⑵证明：反证法
若方程有纯虚根，设为x?ai(a?0)，代入原方程并整理得
(?a2?a?2)?(atan??1)i?0 ∴???a2?a?2?0tan??1?0（*）∵方程?a2?a?2?0无实根，∴方?a程组（*）无解.
故假设不成立，因此原方程无纯虚根.
12数学基础知识与典型例题复习--复数
